在最大流量问题中，如何找到给出最大流量的所有可能路径集？

Question

我知道Ford-Fulkerson Algorithm可以找到流网络中从源（s）到沉（t）的最大流量。
但是，是否有一种算法可以找到给出最大流量的所有可能路径集？

一个例子：
在下面的该网络中，所有边缘的容量为1。不难看出从s到t的最大流量是3。但是如何找到承载该流量的路径的组合呢？

预期输出：
路径集1：s-0-1-t, s-2-3-t, s-5-6-t
路径集2：s-0-1-t, s-2-4-t, s-5-6-t
路径集3：s-0-3-t, s-2-4-t, s-5-6-t
路径集4：s-0-4-t, s-2-3-t, s-5-6-t

有人问了一个类似的问题here，但似乎没有明确的答案。

Answer 1

根据您的评论，我假设所有弧线都是有向的且容量为1。

高级伪代码是

define EnumerateFlows(G, s, t):
    if G has no s-t path:
        yield []  # solution with no paths
    else:
        for P in EnumeratePaths(G, s, t):
            derive G' = G - P
            let s-u be the first arc in P
            derive G'' = G' - {arcs s-v such that v < u}  # ensure canonically ordered solutions only
            for F in EnumerateFlows(G'', s, t):
                yield [P, F...]  # solution with P followed by the elements of F

，其中函数的返回值是函数体内所有yield的列表。输出需要进行后处理以除去非最大流量。

EnumeratePaths无疑有一个关于Stack Overflow的解决方案，但出于完整性考虑，

define EnumeratePaths(G, s, t):
    if s = t:
        yield [s]
    else:
        for u in {successors of s in t}:
            for P in EnumeratePaths(G - {s-u}, u, t):
                yield [s, P...]

要改善EnumerateFlows，值得添加检查以确保残差图中仍然存在最大流量。

关于低级实施建议，我的建议是对G使用邻接列表表示形式，并在列表内外使用拼接弧。另一方面，也许您的图形足够小，没关系。