Question

这个学期我在研究生院学习了密码学课程，而我们涵盖的主题曾经是NTRU。我只是出于业余爱好，尝试使用纯Python编写此代码。当我试图找到多项式的逆模p（在本例中为p = 3）时，当我想要严格的正系数时，SymPy总是返回负系数。这是我的代码。我会解释我的意思。

import sympy as sym
from sympy import GF

def make_poly(N,coeffs):
    """Create a polynomial in x."""
    x = sym.Symbol('x')
    coeffs = list(reversed(coeffs))
    y = 0
    for i in range(N):
        y += (x**i)*coeffs[i]
    y = sym.poly(y)
    return y

N = 7
p = 3
q = 41
f = [1,0,-1,1,1,0,-1]

f_poly = make_poly(N,f)

x = sym.Symbol('x')

Fp = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(p))
Fq = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(q))

print('\nf =',f_poly)
print('\nFp =',Fp)
print('\nFq =',Fq)

在此代码中，f_poly是一个次数最多为6（其次数最多为N-1）的多项式，其系数来自列表f（{ {1}}是f的最高幂的系数，按降序连续。）

现在，我想在卷积多项式环x中找到f_poly的逆多项式（与Rp = (Z/pZ)[x]/(x^N - 1)(Z/pZ)[x]类似）。底部的打印语句输出为：

这些多项式的模数是正确的，但是我想在各处都具有正系数，因为稍后在算法中涉及一些中心提升，因此我需要具有正系数。结果应该是

f = Poly(x**6 - x**4 + x**3 + x**2 - 1, x, domain='ZZ')
Fp = Poly(x**6 - x**5 + x**3 + x**2 + x + 1, x, modulus=3)
Fq = Poly(8*x**6 - 15*x**5 - 10*x**4 - 20*x**3 - x**2 + 2*x - 4, x, modulus=41)

我得到的答案在模数上是正确的，但我认为SymPy的Fp = x^6 + 2x^5 + x^3 + x^2 + x + 1 Fq = 8x^6 + 26x^5 + 31x^4 + 21x^3 + 40x^2 + 2x + 37正在将某些系数更改为负变数，而不是停留在mod内。

有什么办法可以更新此多项式的系数，使其模数中只有正系数，或者这仅仅是SymPy函数的伪像？我想保留SymPy invert的格式，以便稍后在行中使用其某些嵌入式功能。任何见识将不胜感激！

Answer 1

这似乎取决于GF中实现的有限域对象如何围绕给定模数“包装”整数。默认行为是symmetric，这意味着x映射到x % modulo <= modulo//2，否则映射到x % modulo的任何整数(x % modulo) - modulo。因此GF(10)(5) == 5，而GF(10)(6) == -4。您可以通过传递GF参数来使symmetric=False始终映射为正数：

import sympy as sym
from sympy import GF

def make_poly(N, coeffs):
    """Create a polynomial in x."""
    x = sym.Symbol('x')
    coeffs = list(reversed(coeffs))
    y = 0
    for i in range(N):
        y += (x**i)*coeffs[i]
    y = sym.poly(y)
    return y

N = 7
p = 3
q = 41
f = [1,0,-1,1,1,0,-1]

f_poly = make_poly(N,f)

x = sym.Symbol('x')

Fp = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(p, symmetric=False))
Fq = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(q, symmetric=False))

print('\nf =',f_poly)
print('\nFp =',Fp)
print('\nFq =',Fq)

现在，您将获得所需的多项式：

f = Poly(x**6 - x**4 + x**3 + x**2 - 1, x, domain='ZZ')
Fp = Poly(x**6 + 2*x**5 + x**3 + x**2 + x + 1, x, modulus=3)
Fq = Poly(8*x**6 + 26*x**5 + 31*x**4 + 21*x**3 + 40*x**2 + 2*x + 37, x, modulus=41)

主要是作为我自己参考的笔记，这是使用Mathematica获得Fp的方法：

Fp = PolynomialMod[Algebra`PolynomialPowerMod`PolynomialPowerMod[x^6 - x^4 + x^3 + x^2 - 1, -1, x, x^7 - 1], 3]

输出：

1 + x + x^2 + x^3 + 2 x^5 + x^6

在SymPy多项式中以p为模改变系数

1 个答案: