如何将向量最佳地分组为易于描述的组？

Question

我有一组长度为4的向量（表示为Nx4矩阵），其中向量中的每个元素可以取值-1、0或1。我想将向量分组为最少的组（以及最大的组），以使每个组都满足以下约束条件： 对于组中向量的每一列中表示的唯一元素的每种组合，组中必须有一个向量。 例如，仅包含向量[-1,1,0,1]和[-1,1,1,1]的组将满足约束条件，因为该组的每一列中只有一个唯一值，第3个除外，第3个有2，因此有2种可能的组合每列中唯一值的多少，两者均在组中表示。但是，对[1,0,-1,0]和[1,0,0,1]进行分组不能满足约束条件，因为在第三列和第四列中的每个列中都有2个唯一值，从而创建了4种可能的组合，其中只有2种在组合中表示。将[1,0,0,0]和[1,0,-1,1]添加到该组将满足约束。 （请注意，任何单个向量作为一个组都将始终满足约束条件。）

这些组是“容易描述的”，因为您可以列出每列的唯一值，并且可以完全描述该组，而排除所有其他向量。

我的第一个方法是将集合作为一个整体，并首先检查它是否已经满足约束。如果不是，请尝试一次忽略一个向量，并检查其余向量是否满足约束。如果这些方法都不起作用，则尝试忽略2个向量的所有组合，然后是3个，依此类推。每当特定子集满足约束条件时，将这些向量放在一边，然后对其余向量重复该过程，直到没有剩余的向量为止。虽然这保证了最佳分组（据我所知），但是对于任何包含超过25至30个向量的集合，运行时间太长，因为您必须潜在地检查N选择k种可能的方法来忽略掉k从1到N-1的所有值的向量。

我最近意识到，如果您将可能的矢量空间想象为3×3×3×3超立方体，其中每个单位超立方体代表一个矢量，那么您可以将其更多地视为几何问题。满足约束的组是此空间中的超矩形（包括从-1到1的换行），与约束的原始措词相比，它可能更容易考虑。在这个问题的框架中，我正在寻找最小数量的超矩形，以使所有矢量都包含在超矩形中，并且在任何超矩形中都没有空白。这种方法有望不会组合地扩展运行时间，但是我一直无法提出一种搜索可能的超矩形的好方法。

有人想出一种更快的算法来解决这个问题的想法吗？

Answer 1

首先，让我们谈谈您的第一种方法，即全局贪婪算法。您选择可以迭代找到的最大集合。这是一种很好的启发式方法，但不能保证最佳分组。这是维度3中的6个矢量示例（例如，第4个整数为0）：

（0，0，-1）; （0，0，0）; （0，0，1）; （0，-1，-1）; （0，1，1）; （1、0、0）

这是绿色节点超出计划（第6个）的某种表示形式。

您的算法将首先采用唯一可用的3组： （0，0，-1）; （0，0，0）; （0，0，1）; （红线）

留下3个分离的向量，意味着总共4个集合。您显然可以制作3套2个向量（1-4、2-6、3-5）。 （黑线）

解决此问题的一个重要问题是，知道一个向量是否可以在2个不同的集合中使用。

如果没有，我认为这显然是一个NP问题。贪婪算法是最合理的处理方法。您可以通过建立一个以所有向量为节点并且其边沿表示“在同一组中兼容”的图来节省时间，也就是说，没有孔会使这种关联成为不可能。然后您寻找最大的集团。

如果是，我相信您可以使用最小成本流算法来最佳解决。您必须列出所有可接受的集合，所有集合由一个以1成本链接到源的节点表示，并最多注入81个向量节点，将其自身倒入接收器。 大约有V = 10000个可接受的集合，其中包含81个向量。还有一些算法可以让您在O（VElogVlogV）中解决此问题，仍然比！81更好。幸运的是，一些“漏洞”使V下降得很快。