两个数组中的第k个最小数字，一个排序，另一个未排序

Question

两个排序数组已经有一个answer。但是，在我的问题中，其中一个数组未排序。

假设X[1..n]和Y[1..m]其中n < m。 X已排序，Y未排序。找到X U Y的第k个最小数的有效算法是什么。

MinHeap可用于查找未排序数组中的第k个最小数字。但是，这里对这些数组之一进行了排序。我可以想到：

 1. Building a `MinHeap` for `Y`
 2. i = 1, j = 1
 3. x1 = extract Min from Y
 4. x2 = X[i]; 
 5. if j == k: return min(x1, x2)
 5. if x1 < x2: j++; goto 3
 6. else: j++; i++; goto 4 

效率高且正确吗？

Answer 1

没有帮助，但是您必须扫描Y。这需要O(m)，因此您做得比O(m)还要好。

但是quickselect的平均表现为O(m)。基本上，该算法只是进行快速排序，只是您忽略了所有没有最终答案的分区。

鉴于n < m，我们可以简单地将一个数组连接到另一个数组并进行快速选择。

请注意，平均性能不错，但最差的情况是二次性能。要解决此问题，如果进度不够快，则可以切换到中位数算法的中位数，该算法可以保证快速排序的性能（尽管常量错误）。如果您不熟悉它，那就是将数组分为5组的方法，找到每个组的中位数，然后重复直到您减少到1个元素为止。然后将该元素用作整个数组的枢轴。

Answer 2

从已排序的数组（X）中最小提取k个项目的最大堆。这需要O（k）时间。

对于未排序数组（Y）中的每个项目，如果它小于堆中最大的项目（根），则从堆中删除根并添加新项。最糟糕的情况是O（m log k）。

完成后，第k个最小的数字将在堆的顶部。

尽管第二部分的最坏情况是O（m log k），但平均情况要好得多，因为通常只有一小部分项目必须插入堆中。