有限指数增长插值算法

Question

我需要实现有限的指数增长插值。我在Wikipedia上找到了该公式：

B(t)=S-(S-B(0))*e^(-k*t)

我必须指出标记要创建的曲线的起点和终点的点：

我只需要整数区间的曲线值，例如0,1,2,3，结束 因此，从我的角度来看，我需要解决上述k的方程，因为我已经给出了其他所有内容。

这个问题是方程式

B(END_X)=END_Y-(END_Y-START_Y)*e^(-k*END_X)

没有解决方案，因为它仅近似于所需的END_Y值，而从未达到该值。

我的问题是我将如何最有效地实现k的计算，而又不会遇到很多麻烦。将END_Y增加一点，使其超出实际所需的端点？ （语言是C ++）

编辑：//

END_Y-(END_Y-START_Y)*e^(-k*END_X)=END_Y+sgn(END_Y-START_Y)*G

其中G是一个接近参数。

Answer 1

指数增长对应于指数变化的函数。在这种情况下，通常在对数域中执行线性插值，或者在线性域中执行等效操作。

让我们调用（x ₀ ，y ₀ ）和（x ₁ ，y ₁ ）第一点。插值包括为每个输入 x _i

计算近似值 y _i

对数域中的线性插值：

这将导致线性域：

最后一个指数对应于一个简单变量 t ，该变量以线性方式在0到1之间变化。这意味着该计算可以迭代执行，只需要调用pow()

Answer 2

对于指数衰减插值

 y = A*exp(-k*x)  (1)

图片中显示的内容，您至少需要知道两个点（x0，y0），（x1，y1）。在这种情况下，您有

y0 = A*exp(-k*x0)
y1 = A*exp(-k*x1)

y0/y1 = exp(-k*x0)/exp(-k*x1) = exp(-k(x0-x1))

k = log(y0/y1)/(x1-x0). 

首先找到 k ，然后找到 A

 A = y0 / exp(-k*x0)

获得 k 和 A 后，您可以在内部点找到 y（x）

(x0<x<x1)

按公式（1）