pi类型是什么类型？

Question

依赖类型的语言提供“ pi类型”，允许类型依赖于输入的值。我的问题是，pi类型的类型是什么？

Answer 1

类型的类型是Universe。通常，Universe被分层为类型0，类型1，类型2 ...等级别，其中类型n的类型为类型（n + 1）。这样做的原因是，如果我们只有一个类型的Type，则Type的类型必须是Type，通常为leads to paradoxes。

那么forall a: A, P a的类型是什么（使用Coq语法的pi类型）？如果假设A: Type m和P: A -> Type n，则有forall a: A, P a: Type max(m, n)。如果我们有累积的Universe（如Coq一样），因此m≤n和A: Type m暗示A: Type n，则forall a: A, P a的类型实际上是大于两个{{ 1}}和m。

编辑：根据您的评论，n以->和A: Type m作为参数，并返回类型为P: A -> Type n的{​​{1}}，因此类型pi构造函数的值是forall a: A, P a，或者用Agda语法是Type max(m, n)。

Answer 2

在lambda多维数据集中，Pi类型通过form规则形成：

G ⊢ A: s1   G, x: A ⊢ B : s2
--------------------------------- (form)
G ⊢ Πx : A. B: s2

{s1，s2}可以为

1. {*，*}（STLC）
2. {*，□}（依赖网络类型）
3. {□，□}（类型构造函数）
4. {□，*}（参数多态性）

此form规则可以在Pure Type System中进一步推广