使用自定义pdf

Question

我有以下ODE：

其中p是概率，而y是pdf随机变量：

epsilon是一个较小的临界值（通常为0.0001）。

我正在寻找在Python中以数字方式求解该系统，使t = 0大约为500。

有没有一种方法可以使用numpy/scipy来实现？

Answer 1

令人烦恼的是，缺乏用于SDE集成的高质量Python软件包。您有一种不寻常的设置，因为您的随机变量对您的被积数有明确的依赖性（至少看来y取决于p）。因此，可能很难找到满足您需求的现有实现。

幸运的是，最简单的SDE集成方法Euler-Maruyama很容易实现，就像下面的eulmar函数一样：

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

def eulmar(func, randfunc, x0, tinit, tfinal, dt):
    times = np.arange(tinit, tfinal + dt, dt)
    x = np.zeros(times.size, dtype=float)
    x[0] = x0

    for i,t in enumerate(times[1:]):
        x[i+1] = x[i] + func(x[i], t) + randfunc(x[i], t)

    return times, x

然后您可以使用eulmar来集成SDE，如下所示：

def func(x, t):
    return 1 - 2*x

def randfunc(x, t):
    return np.random.rand()

times,x = eulmar(func, randfunc, 0, 0, 500, 5)
plt.plot(times, x)

但是，您必须提供自己的randfunc。像上面一样，它应该是一个以x和t作为参数并从随机变量y返回单个样本的函数。如果您在想出一种生成y样本的方法时遇到麻烦，则由于您知道PDF，因此可以始终使用rejection sampling（尽管它的效率很低）。

注释

• 这不是Euler-Maruyama的特别有效的实现。例如，随机样本通常一次全部生成（例如np.random.rand(500)）。但是，由于y取决于p，因此您无法预先生成随机样本。