Question

我在Haskell中编写了一些代码来做ordinal arithmetic，现在正尝试使用Liquid Haskell验证某些属性。但是，我在“反映”递归函数时遇到了麻烦。我在下面的“小于”函数中隔离了一个问题：

-- (Ord a n b) = a^n + b
{-@ data Ordinal [size] = Ord { a :: Ordinal, n :: Nat,  b :: Ordinal }
                        | Zero {} @-}
data Ordinal = Ord Ordinal Integer Ordinal
             | Zero
             deriving (Eq, Show)

{-@ measure size @-}
{-@ size :: Ordinal -> Nat @-}
size :: Ordinal -> Integer
size Zero = 1
size (Ord a n b) = (size a) + 1 + (size b)

{-@ inline ordLT @-}
ordLT :: Ordinal -> Ordinal -> Bool
ordLT _ Zero = False
ordLT Zero _ = True
ordLT (Ord a0 n0 b0) (Ord a1 n1 b1) =
    (ordLT a0 a1) || 
    (a0 == a1 && n0 < n1) || 
    (a0 == a1 && n0 == n1 && ordLT b0 b1)

one = (Ord Zero 1 Zero)     -- 1
w   = (Ord one 1 Zero)      -- omega
main = print w              -- Ord (Ord Zero 1 Zero) 1 Zero

仅通过上述操作执行liquid ordinals.hs会出现以下错误：

Error: Cyclic type alias definition for `Main.ordLT`
14 |     {-@ inline ordLT @-}
                     ^^^^^
The following alias definitions form a cycle:
* `Main.ordLT`

那么反映递归函数的正确方法是什么？我已经读过liquid haskell tutorial，但无法弄清楚其示例在做什么方面的差异。

Answer 1

要在没有更多上下文的情况下确定要执行的操作有些困难，但是inline确实不适用于递归函数：inline允许您使用类型为的函数通过在编译时进行扩展（在创建发送到求解器的验证条件之前），因此有必要用某种特定的逻辑公式替换ordLT a b的每次出现（这是不可能的，因为它是递归的。）

如果您需要能够在逻辑中使用任意Haskell函数，则可以考虑使用优化反射。您的示例使用{-@ reflect ordLT @-}和{-@ LIQUID "--exact-data-cons" @-}进行编译。但是，在逻辑中不会自动完全解释通过优化反射创建的功能符号。 this paper中讨论了具体细节，these slides和this blog post中提供了更易于理解的示例/解释。要记住的主要要点是，通过反射创建的ordLT符号在逻辑上最初将被视为一个完全未解释的函数：LH唯一了解的就是a0 == a1 ==> b0 == b1 ==> ordLT a0 b0 == ordLT a1 b1之类的东西（如果您调用它在相同的输入上，结果是相同的。）

为了在逻辑上对ordLT做一些有用的事情，您将需要在范围内某处的值级别调用ordLT，这将揭示该特定调用的值，因为ordLT的返回类型（值级别的函数）在这些输入上声明有关ordLT（逻辑级别的未解释函数）的输出的某些信息。上面和本文链接的幻灯片中提供了示例。我希望这足以让您入门！

Liquid Haskell：内联递归函数中的“循环类型别名定义”错误

1 个答案: