使用新的观测数据在PyMC3上更新模型

Question

我去年测量了80个水果的直径，在检查了值的最佳分布之后，我创建了一个PyMC3模型

with Model() as diam_model:
    mu = Normal('mu',mu=57,sd=5.42)
    sigma = Uniform('sigma',0,10)

据我所知，我已经使用先前的数据（80个值）对模型进行了“训练”

with diam_model:
    dist = Normal('dist',mu=mu,sd=sigma, observed=prior_data.values)

with diam_model:
    samples=fit().sample(1000)

然后我使用了plot_posterior中的samples，还返回了均值和HPD。

我的想法是今年使用贝叶斯更新法再次进行测量以减少样本量。我如何添加单个值并更新后验值，以期望HPD越来越小？

Answer 1

内核密度估计更新优先级

使用另一个重复的答案，可以使用this Jupyter notebook中的代码提取先验的近似版本。

第一轮

我假设我们有第一轮抽样的数据，我们可以施加平均值57.0和标准差5.42。

import numpy as np
import pymc3 as pm
from sklearn.preprocessing import scale
from scipy import stats

# generate data forced to match distribution indicated
Y0 = 57.0 + scale(np.random.normal(size=80))*5.42

with pm.Model() as m0:
    # let's place an informed, but broad prior on the mean
    mu = pm.Normal('mu', mu=50, sd=10)
    sigma = pm.Uniform('sigma', 0, 10)

    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y0)

    trace0 = pm.sample(5000, tune=5000)

从后验提取新先验

然后我们可以使用该模型的结果，通过the referenced notebook中的以下代码来提取参数的KDE后验：

def from_posterior(param, samples, k=100):
    smin, smax = np.min(samples), np.max(samples)
    width = smax - smin
    x = np.linspace(smin, smax, k)
    y = stats.gaussian_kde(samples)(x)

    # what was never sampled should have a small probability but not 0,
    # so we'll extend the domain and use linear approximation of density on it
    x = np.concatenate([[x[0] - 3 * width], x, [x[-1] + 3 * width]])
    y = np.concatenate([[0], y, [0]])
    return pm.Interpolated(param, x, y)

第二轮

现在，如果我们有更多数据，则可以使用KDE更新的先验条件来运行新模型：

Y1 = np.random.normal(loc=57, scale=5.42, size=100)

with pm.Model() as m1:
    mu = from_posterior('mu', trace0['mu'])
    sigma = from_posterior('sigma', trace0['sigma'])

    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y1)

    trace1 = pm.sample(5000, tune=5000)

同样，人们可以使用此迹线为以后的传入数据回合提取更新的后验估计。

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共轭模型

以上方法可得出近似于真实更新的先验值，并且在不可能使用共轭先验值的情况下最有用。还应该注意的是，我不确定这种基于KDE的近似在多大程度上会引入误差，以及在重复使用时它们如何在模型中传播。这是一个巧妙的技巧，但在不进一步验证其健壮性的情况下，应谨慎对待将其投入生产。

但是，在您的情况下，预期分布是高斯分布，并且这些分布具有established closed-form conjugate models。我强烈建议您完成Kevin Murphy's Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution。

正反伽马模型

正态-逆伽马模型估计观察到的正态随机变量的均值和方差。均值以正常先验建模；带有反伽马的方差。该模型使用以下四个参数：

mu_0  = prior mean
nu    = number of observations used to estimate the mean
alpha = half the number of obs used to estimate variance
beta  = half the sum of squared deviations

鉴于您的初始模型，我们可以使用值

mu_0  = 57.0
nu    = 80
alpha = 40
beta  = alpha*5.42**2

您可以按如下所示绘制先验的对数似然：

# points to compute likelihood at
mu_grid, sd_grid = np.meshgrid(np.linspace(47, 67, 101), 
                               np.linspace(4, 8, 101))

# normal ~ N(X | mu_0, sigma/sqrt(nu))
logN = stats.norm.logpdf(x=mu_grid, loc=mu_0, scale=sd_grid/np.sqrt(nu))

# inv-gamma ~ IG(sigma^2 | alpha, beta)
logIG = stats.invgamma.logpdf(x=sd_grid**2, a=alpha, scale=beta)

# full log-likelihood
logNIG = logN + logIG

# actually, we'll plot the -log(-log(likelihood)) to get nicer contour
plt.figure(figsize=(8,8))
plt.contourf(mu_grid, sd_grid, -np.log(-logNIG))
plt.xlabel("$\mu$")
plt.ylabel("$\sigma$")
plt.show()

更新参数

给出新数据Y1，将更新参数，如下所示：

# precompute some helpful values
n = Y1.shape[0]
mu_y = Y1.mean()

# updated NIG parameters
mu_n = (nu*mu_0 + n*mu_y)/(nu + n)
nu_n = nu + n
alpha_n = alpha + n/2
beta_n = beta + 0.5*np.square(Y1 - mu_y).sum() + 0.5*(n*nu/nu_n)*(mu_y - mu_0)**2

为了说明模型的变化，让我们从略有不同的分布中生成一些数据，然后绘制所得的后验对数似然：

np.random.seed(53211277)
Y1 = np.random.normal(loc=62, scale=7.0, size=20)

产生

在这里，这20个观测值不足以完全移到我提供的新位置和比例，但是两个参数似乎都朝那个方向移动。