在任意X坐标处确定B样条的值

Question

我在一组数据点xp和yp上创建了一个开放的，钳位的三次b样条。

样条曲线由跨过xp域的向量u参数化。

我的目标是确定xp域中给定的“ x”坐标处b样条的“ y”坐标。

如生成参数曲线时的预期行为，当我在计算tck之后将值“ 4”传递到splev中时，将返回与参数4对应的x和y坐标值。

我能够使用牛顿方法来确定给定的“ x”坐标处的参数u的值；但是，这是间接的，并且需要比最终应用程序所允许的更多的计算时间。

有人可以建议一种更直接的方法来确定给定“ x”在b样条曲线上的“ y”坐标吗？

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import interpolate

xp = [0., 0.71428571, 1.42857143, 2.14285714, 2.85714286, 3.57142857, 4.28571429, 5.]
yp = [0., -0.86217009, -2.4457478, -2.19354839, -2.32844575, -0.48680352, -0.41055718, -3.]

length = len(xp)
t = np.linspace(0., xp[-1], length - 2, endpoint=True)
t = np.append([0, 0, 0], t)
t = np.append(t, [xp[-1], xp[-1], xp[-1]])

tck = [t, [xp, yp], 3]
u = np.linspace(0, 5., 1000, endpoint=True)
out = interpolate.splev(u, tck)

x_value_in_xp_domain = 4.
y_value_out = interpolate.splev(x_value_in_xp_domain, tck)

plt.plot(xp, yp, linestyle='--', marker='o', color='purple')
plt.plot(out[0], out[1], color = 'teal')
plt.plot(x_value_in_xp_domain, y_value_out[1], marker='o', color = 'orangered')
plt.plot(y_value_out[0], y_value_out[1], marker='o', color = 'black')
plt.axvline(x=x_value_in_xp_domain, color = 'orangered')
plt.show()

下图显示了由上面的代码生成的参考多边形和b样条曲线。 x = 4处的橙色点对应于我希望直接确定b样条曲线的y值的点。黑点是将4的值作为参数传递时b样条的值。

提供了一些有用的参考：

Fast b-spline algorithm with numpy/scipy

https://github.com/kawache/Python-B-spline-examples

https://pages.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/B-spline/bspline-curve.html

http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node17.html

Answer 1

roots类的PPoly方法可以解决您的问题。这将比牛顿快，并且如果有多个解决方案，它将为您提供所有解决方案。

sx = interpolate.BSpline(t, xp, 3)
sy = interpolate.BSpline(t, yp, 3)

x0 = 4
u0 = interpolate.PPoly.from_spline((sx.t, sx.c - x0, 3)).roots()
sy(u0)

plt.plot(xp, yp, linestyle='--', marker='o', color='purple')
plt.plot(out[0], out[1], color = 'teal')
plt.plot(sx(u0), sy(u0), 'o')
plt.show()