具有三价顶点的2D拼贴中的图块与顶点的比率

Question

请考虑用多边形拼贴2D空间（拼贴不必具有相同的形状）。如果每个顶点必须连接到三条线，我们是否可以声明顶点与面的比率？在六角形和截断的六角形拼贴中，此比例为2：1。但是，如果这是真的，怎么能证明所有平铺呢？

Answer 1

为此，我们可以使用Euler characteristic chi。定义为

chi = v - e + f
v ... number of vertices
e ... number of edges
f ... number of faces

有限平面具有欧拉特征chi = 1，无限平面（类似于圆环）具有欧拉特征chi = 0。

鉴于每个顶点都连接到三个边（每个边都连接到两个顶点）的约束，我们有

2e = 3v

将其引入欧拉特征的定义中，我们得到：

chi = v - 3/2 v + f
    = f - 1/2 v

在无限平面（chi = 0）的情况下，我们得到

    0 = f - 1/2 v
1/2 v = f
    v = 2 f

这是您提到的比率。因此，不仅对于六角形平铺来说，对于使用每个顶点连接到三个边的所有平铺来说，都是如此，无论使用什么多边形。