Question

我目前在家庭作业中停留在循环不变性证明上。我需要证明其正确性的算法是：

Multiply(a,b)
    x=a
    y=0
    WHILE x>=b DO
        x=x-b
        y=y+1
    IF x=0 THEN
        RETURN(y)
    ELSE
        RETURN(-1)

我试图看一些循环不变式的例子，并且对它应该如何工作有一些想法。但是，在上面的算法中，我有两个退出条件，而对于如何在循环不变性证明中解决这个问题，我有些迷失。特别是我在IF和ELSE语句周围苦苦挣扎的终止部分。

到目前为止，我所构造的只是看算法的终止，在这种情况下，如果x = 0则返回包含y值的n值（ while循环中的迭代次数），其中x不是0，而x < b则返回-1。我只是觉得我需要证明这一点。

我希望有人可以帮我分享一些信息，因为我在这里找到的类似案例还不够。

提前感谢您的时间。

Answer 1

假设算法终止（为此假设a>0和b>0就足够了），不变的是，在while循环的每次迭代中，您都有{{ 1}}。

证明：

首先使用x + by = a和x = a，没关系
如果为y = 0，则为x + by = a，它们是您下一次迭代的(x - b) + (y + 1)b = a和x的值

插图：

当Multiply(a,b) x=a y=0 // x + by = a, is true WHILE x>=b DO // x + by = a, is true x=x-b // X = x - b y=y+1 // Y = y + 1 // x + by = a // x - b + by + b = a // (x-b) + (y+1)b = a // X + bY = a, is still true // x + by = a, will remain true when you exit the loop // since we exited the loop, x < b IF x=0 THEN // 0 + by = a, and 0 < b // y = a/b RETURN(y) ELSE RETURN(-1)除以a/b时，此算法返回b，否则返回a。 -1听起来不太合适……

Answer 2

如果没有确切说明该函数应该做什么的说明，我们就无法证明其正确性，我在您的问题中找不到。甚至函数的名称也无济于事：如前所述，当b除以a时，函数大多数时候返回a / b，否则返回-1。乘法是一个不合适的名字。

此外，如果b=0和a>=b的“算法”没有终止，那么它甚至都不是算法。

如Alex M所指出的，该循环的循环不变式为x + by = a。在循环退出的时刻，我们还有x < b。 x没有其他保证，因为（大概）a可能为负。如果我们保证a和b是正数，那么我们可以保证在循环退出的那一刻0<=x<b，这意味着它将使用余数算法（在循环结束时，y是商，x是余数，它以“无限下降”类型自变量终止：正整数x的递减序列必须终止）。然后，您可以得出结论，如果x=0，b均分，并且返回商，否则返回-1。

但这并不是证明，因为我们缺乏算法应做的规范以及对输入限制的规范。（a和b是否为正整数？不允许负数和0？）

乘法算法的循环不变性证明

2 个答案: