当舍入后的数字为0时，如何计算浮点数舍入的相对误差？

Question

浮点数x的相对舍入误差定义为

e_r = |（round（x）-x）/ x | = |轮（x）/ x-1 | （1）

假设round(x)使用四舍五入到最接近的模式，则绝对四舍五入误差|round(x) - x|将小于0.5 ulp(x)，其中ulp是单位最后一个地方

ulp = 2 ^ E * epsilon

，E是x的指数，epsilon是机器精度epsilon=2^-(p-1)，p是精度（单精度为24，双精度为53精确的IEEE格式）。

使用此值，可以表示任意实数x的相对误差

e_r = |（round（x）-x）/ x | = |（round（x）-x）| / | x | <| 0.5 * 2 ^ E * 2 ^-（p-1）| / | 2 ^ E | <0.5ε

问题是，对于非规范化数字0 < x < 2^Em，其中Em是最小指数（单精度为-126，双精度为-1022），

0

舍入始终为0！

如果round(x)为0，则乘以（1）

e_r = |（0-x）/ x | = | 1 | ！

如何计算此类数字的相对误差？相对误差甚至应该用于四舍五入到0的数字吗？

Answer 1

当一个运算的精确数学结果为非零，并且计算机为该运算提供的最终结果为零时，相对误差为100％。

公式 e _r = |（0- x ）/ x | = | 1 |，其中 x 不为零，可以正确表示这一点。

关于“相对误差是否应四舍五入为0的数字？”问题，相对误差作为度量的适用性取决于应用程序。如果交付的结果丢失了对应用程序有用的所有信息，则相对误差为100％。如果传递的结果对应用程序有一定用处，因为知道结果较小而其他结果较大则可能很有用，则相对误差可能无关紧要。如果没有有关该应用程序的更多信息，则无法提供具体答案。