Question

在《第一原理的Haskell编程》一书中，有一个练习要求我在Monoid类型上实例化Or：

data Or a b =
  Fst a
  | Snd b
  deriving (Eq, Show)

以前，我们在实例化Semigroup时定义了规则：

instance Semigroup (Or a b) where
  (Fst _) <> (Fst y) = Fst y
  (Fst _) <> (Snd y) = Snd y
  (Snd x) <> (Fst _) = Snd x
  (Snd x) <> (Snd _)= Snd x

根据上述规则，显然Fst x应该是mempty，如果它是Monoid，其中x是a类型的任何东西。但是我不知道如何写规则：

instance (Monoid a, Monoid b) => Monoid (Or a b) where
  mempty = ???  -- Please help me with this, to make every (Fst x) be mempty.
  mappend = (<>)

Answer 1

简而言之：您对(<>)的定义不能用作monoid的二进制运算符。除非可以保证a仅存在一个可能的值（如果我们使用b作为“中性元素”的构造函数，则为Snd）。

根据上述规则，如果Fst x是mempty，显然应该是Monoid。

的确，如果是monoid [wiki]。但是对于一个半身像，可以证明确实存在一个一个身份元素。证明如下：给定有两个中性元素 e ₁ 和 e ₁ ，则表示 e ₁⊕e₂ = e ₁ ，但同时 e ₁⊕e₂ = e ₂ （因为a⊕e=e⊕a= a 与保持一致> e 一个标识元素），因此表示 e ₁ = e ₂ 成立，因此两者相同

现在您对(<>)的定义中没有这样的标识元素。的确，假设此元素为Fst e，则应认为：

Fst e <> Fst a = Fst a

包含（定义的第一行），但也应包含：

Fst a <> Fst e = Fst a

，这将根据您的(<>)函数仅在a为e时成立。因此，我们可以这样声明一个Monoid的唯一方法是，如果我们只能在Fst构造函数中定义 one 值，例如@leftroundabout这样说：

instance Monoid (Or () b) where
    mempty = Fst ()
    mappend = (<>)

因此，我们可以得出结论，您的(<>)函数不不适合作为Monoid的二进制运算符。您将需要提供一个不同的二进制运算符，该二进制运算符的结构方式使其可以在monoid中使用。

现在，identity元素仍然有可能是Snd e的形式，但是再次出现：

(Snd x) <> (Snd e) = Snd x
(Snd e) <> (Snd x) = Snd x

应该都成立，而在您的实现中：

(Snd x) <> (Snd _)= Snd x

后者将不成立（因为x可以与e不同）。

如何在此“或”类型上定义“空”？

1 个答案: