最小化分数平方根的舍入误差

Question

在R中，我有

options(digits=22)
sqrt((1-exp(-20)))/sqrt((1-exp(-19.9)))
> 1.000000000108386855047
sqrt((1-exp(-20))/(1-exp(-19.9)))
> 1.000000000108386633002

我的问题是：我是否可以期望一个版本比另一个版本更精确（也使用其他语言），还是取决于除法和sqrt的实现？

Answer 1

这是因为您的第二个表达式是错误的。它应该是 sqrt((1-exp(-10))/(1-exp(-9)))，您计算了1-a/(1-b)之类的值的平方根，而不是 (1-a)/(1-b）。

进行此更改后，两个结果均为1.000039008990497。

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以下是更新的答案：对于小x，计算sqrt(1-x)有点不准确。为了获得更好的结果，您可以使用泰勒级数sqrt(1-x) ~ 1 - x/2（或更高的项，取决于x的值）来近似。

> x = exp(-20)
> y = exp(-19.9)
> sqrt((1-x)/(1-y))
[1] 1.0000000001083866
> sqrt(1-x)/sqrt(1-y)
[1] 1.0000000001083869
> (1-x/2)/(1-y/2)
[1] 1.0000000001083866

正确的舍入值为1.0000000001083867。您会看到泰勒级数值与第一个相同。 IMO的差异很小，通常不值得使用泰勒级数。