使用matplotlib

Question

我有一个常微分方程组，它有两个吸引子，一个在（1，0），另一个在（-1，0）。我想在笛卡尔坐标系中绘制一个吸引盆，其中有两种颜色，显示随着时间趋于正无穷大，坐标系每个点上的哪个吸引子将结束。但是，我不知道如何使用matplotlib绘制这种图形。 这是我到目前为止的工作：

from scipy.integrate import ode
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.linalg import norm

"""
The system of ODE:
x' = y
y' = x - x**3 - gamma*y
"""

# The system of equation
def f(t, r, arg):
    return [r[1], r[0] - r[0] ** 3 - arg * r[1]]

# The Jacobian matrix
def jac(t, r, arg):
    return [[0, 1], [1 - 3 * r[0] ** 2, -arg]]

# r is the vector (x,y)
# Initial condition, length of time evolution, time step, parameter gamma
def solver(r0, t0, t1, dt, gamma):

    solution = ode(f, jac).set_integrator('dopri5')

    # Set the value of gamma
    solution.set_initial_value(r0, t0).set_f_params(gamma).set_jac_params(gamma)

    return solution


# The function to find the fixed point each starting point ends at
def find_fp(r0, t0, t1, dt, gamma):
    solution = solver(r0, t0, t1, dt, gamma)
    error = 0.01
    while solution.successful():
        if norm(np.array(solution.integrate(solution.t+dt)) - np.array([1, 0])) < error:
            return 1
        elif norm(np.array(solution.integrate(solution.t+dt)) - np.array([-1, 0])) < error:
            return -1

def fp(i, j, gamma):
    t0, t1, dt = 0, 10, 0.1
    return find_fp([i, j], t0, t1, dt, gamma)

我定义了几个功能。 f是定义方程式系统jac的系统的雅可比矩阵的函数，该函数用作使用dopri5的{​​{1}}方法求解ODE的参数（ Kutta-Runge方法）。 scipy.integrate.ode函数的定义是返回相空间中某个点将要终止的吸引子，返回值find_fp意味着该点将以（1、0）终止，而{{1 }}到（-1，0）。到目前为止，这些功能似乎运行良好。但是，我不知道如何使用我对1模块所做的事情来绘制吸引盆。有什么好主意吗？

Answer 1

快速移动：选择靠近固定点的初始点，并向后计算解一段时间。绘制溶液并根据吸引子对其进行着色。

gamma = 1.2

def solution(x,y):
    return odeint(lambda u,t: -np.array(f(t,u,gamma)), [x,y], np.arange(0,15,0.01))

for i in range(-10,11):
    for j in range(-10,11):
        sol = solution(-1+i*1e-4, 0+j*1e-4);
        x,y = sol.T; plt.plot(x,y,'.b',ms=0.5);
        sol = solution(+1+i*1e-4, 0+j*1e-4);
        x,y = sol.T; plt.plot(x,y,'.r',ms=0.5);
plt.grid(); plt.show();

这给出了图像

其他gamma值或更长的积分间隔需要仔细处理，因为三次项会导致反向时间积分中的超指数爆炸。