Question

我有一个太大的数字（1500+），我需要找到2 **该数字以1_000_000_000为模，所以我写了这个python：

n = 1
return_value = 2
while n < To_the_power_of:
    return_value *= 2
    return_value = return_value % 1_000_000_000 
    n += 1

对于较小的值，它返回正确的值，但是对于较大的值，它花费的时间太长。

如果数字是10模，那么您会得到可以使用的模式。

2 ** 1 modulo 10 = 2
2 ** 2 modulo 10 = 4
2 ** 3 modulo 10 = 8
2 ** 4 modulo 10 = 6
2 ** 5 modulo 10 = 2
2 ** 6 modulo 10 = 4 
2 ** 7 modulo 10 = 8 
2 ** 8 modulo 10 = 6

我希望可以使用类似的模式来回答原始问题。

Answer 1

您已经知道该序列将重复。您发现mod 10的周期为4；现在，只需找到十亿美元即可：

mod_billion = set()
pow_2 = 2
billion = 10**9

while pow_2 not in mod_billion:
    mod_billion.add(pow_2)
    pow_2 *= 2
    if pow_2 > billion:
        pow_2 -= billion

print (pow_2, len(mod_billion))

三秒钟后，我们得到：

512 1562508

因此，此序列每1562508个项目重复一次。为了找到给定能力的价值，

cycle = 1562508
small_power = big_power % cycle
result = (2 ** small_power) % billion

Answer 2

您的代码进行了10 ** 1500次迭代，这确实太长了。 exponentiation by squaring是一种有用的通用技术，它将在大约4500次迭代中为您提供结果。

如果要遵循@Prune答案的路径，则应遵循费马小定理，尤其是Euler's generalization。 phi(1_000_000_000)易于计算，因为10 ** 9 = (2 ** 9) * (5 ** 9)是2个质数的乘积。

如何找到2乘以10 ^ 9为模的疯狂大数的幂

2 个答案: