查找算法的指令数

Question

给出此算法（a> 0，b> 0）：

while(a>=b){
   k=1;
   while(a>=k*b){
      a = a - k*b;
      k++;
   }
}

我的问题：我必须找到该算法的时间复杂度，要做到这一点，我必须找到指令数量，但找不到。有没有办法找到这个数字，如果没有，我如何找到它的时间复杂度？

我所做的事情：首先，我尝试查找第一个循环的迭代次数，并找到了一个模式：a_i = a-（i（i + 1）/ 2） * b其中，i是迭代次数。我已经花了几个小时对其进行了一些操作，但是找不到任何相关的东西（我发现了奇怪的结果，例如q²<= a / b

Answer 1

您已经正确计算出内部循环的第a次迭代后的i的值是：

a_j0是第a外循环开始时j的值。内循环的停止条件是：

可以解决二次不等式

因此，内部循环大约为O(sqrt(a_j0 / b))。 a的 next 起始值满足：

大致缩放为sqrt(2b * a_j0)。准确地计算时间复杂度将非常繁琐，因此让我们从此处开始应用上述近似值：

用a_n代替a_j0，其中t_n是内部循环的运行时间–当然，总的时间复杂度只是t_n的总和。请注意，第一项由n = 1给出，并且a的输入值定义为a_0。

在直接解决此重复项之前，请注意，由于第二项t_2已经与第一项t_1的平方根成比例，因此后者在总和中占所有其他项的作用。

  

因此，总时间复杂度仅为 O(sqrt(a / b)) 。

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更新：数值测试。

请注意，由于a值的所有变化都与b成比例，并且所有循环条件也与b成比例，因此可以对该函数进行“归一化“ ，只需设置b = 1并仅更改a。

JavaScript测试功能，它测量内部循环执行的次数：

function T(n)
{
   let t = 0, k = 0;
   while (n >= 1) {
      k = 1;
      while (n >= k) {
          n -= k;
          k++; t++;
      }
   }
   return t;
}

sqrt(n)对T(n)的图：

令人信服的直线，确认时间复杂度的确是一半。