T（n）= log（n * n！）的渐近时间复杂度（大theta）是多少？

Question

我认为是O（n * log（n）），但不确定。

我尝试过log（n * n！）= log（n（n * n-1 * n-2 * ... * 1））= n log（n）+ log（n）+ log （n-1）+ ... + log（1）<= nlog（n）+ nlog（n）= 2n log（n）

有人可以解释这是否正确吗？

Answer 1

上限

log(n*n!) = log(n) + log(n!)
          = log(n) + log(n) + log(n-1) + ... + log(2)
         <= log(n) + (n-1)log(n)
          = n*log(n)

下界

log(n*n!) = log(n) + log(n) + log(n-1) + ... + log(2)
         >= log(n) + (n-1)/2*log(n/2)                     ; 1st half >= log(n/2), 2nd >= 0
         >= log(n/2) + (n-1)/2*log(n/2)
          = (n+1)/2*log(n/2)
         >= (n/2)log(n/2)

注意： 在这里，我假设log(2)>0，如果我们以2为底的对数，则为true。这是一个有效的假设，因为不同底数的对数之间的关系是线性的，并且线性关系由big-O保留。

直观地，我们看到这是O(n*log(n))，对吧？但是为什么是真的吗？

要了解原因，我们需要找到C > 0和N0这样的

           (N0/2)log(N0/2) >= C*N0*log(N0)

减少为：

           log(N0/2)/log(N0) >= 2*C

或

           1 - log(2)/log(N0) >= 2*C

因此，选择C < 1/2，例如C = 1/4，N0的值仅需验证：

           log(N0) >= 2*log(2) = log(4).

因此足以拍摄N0 = 4。

请注意，对于两个常数C和N0，我们有一个不等式。这就是为什么我们必须选择一个（足够好），然后推断另一个的原因。