O（登录）while循环的运行时间？

Question

我在网上看到了这两个示例，我试图找出每个示例的运行时。我对这两种运行时都可能是一个猜测，但是我对第二个问题不是很肯定。

    int temp=0;
    int i=0;
    while(temp < n){
        arr[i]++;
        i++;
        temp = i*i;
    }

我相信它的运行时是O（log n），因为while循环运行了大约n * 2次，这让我认为是这样。

int i = 0;
int j = 1;
while (j<n){
    i++;
    if(i==n){
        i = 0;
        j = j*2;
    }
}

我对此的最佳猜测也是O（logn）。我真的不知道如何考虑这个问题。我知道每个子问题（进入if语句）运行n次。因此，运行时约为O（n * 3）（我认为）== O（logn）。

Answer 1

第一个片段等效于：

int i=0;
while(i*i < n){
    arr[i]++;
    i++;
}

具有复杂性O(sqrt(n))，因为i*i < n与i < sqrt(n)相同。

第二次

int i = 0;
int j = 1;
while (j<n){
  i++;
  if(i==n){
    i = 0;
    j = j*2;
  }
}

让我们观察到j在n移至2*j之后被重置了。如果发生这种情况k次，则j将成为2^k。由于限制为n，因此我们有2^k < n或k < lg(n)。总之，将有lg(n)个j重置，每个重置都涉及n个步骤。因此，复杂度为O(n lg(n))。