我正在尝试学习如何正确证明BigO。
我想做的是找到给定功能的C和N0。
Big-O的定义是
让f（n）和g（n）是将非负整数映射为实数的函数。 如果存在一个实常数c> 0和一个整数，我们说f（n）为O（g（n）） 常数n0≥1，使得对于所有n≥n0，f（n）≤c g（n）。
鉴于多项式（n + 1）^ 5，我需要证明它的运行时间为O（n ^ 5）。
我的问题是，如何从上面的定义中找到这样的c和N0，以及如何继续代数查看它是否运行n ^ 5？
到目前为止，我尝试通过归纳法
（n + 1）^ 5 = n ^ 5 + 5n ^ 4 + n ^ 3 + 10n ^ 2 + 5n ^ 1 + n ^ 0
找到n + 1个元素
n ^ 5 + 5n ^ 4 + n ^ 3 + 10n ^ 2 + 5n ^ 1 + n ^ 0 <= n ^ 5 + 5n ^ 5 + n ^ 5 + 10n ^ 5 + 5n ^ 5 + n ^ 5
n ^ 5 + 5n ^ 4 + 10n ^ 2 + 5n +1 <= 22n ^ 5
答案 0 :(得分：1)
您想要一个常量 c ，以使（n + 1） 5 ≤c n 5 。为此，您不需要归纳，只需一点代数，事实证明您实际上已经找到了这样的 c ，但是在此过程中错过了n 0 。因此，让我们从头开始。
请注意， c 不必太紧，它可能比必要的要大，并且仍然会证明时间复杂性。我们将利用这一优势。
我们可以像您一样先开发左侧。
（n +1） 5 = n 5 + 5n 4 + 10n 3 + 10 n 2 + 5n +1
对于 n≥1 ，我们有 n，n 2 ，n 3 ， n 4 ≤n 5 ，因此。
（n +1） 5 ≤（1 + 5 + 10 + 10 + 5 +1）n 5 = 22n 5
然后您得到一个 c ，使得（n + 1） 5 ≤c n 5 。 c 是 22 。
而且由于我们上面说过，如果 n≥1 成立，那么我们就有 n 0 = 1 。
这可以概括为任何程度。通常，给定多项式 f（n）=（n + a） b ，那么您就会知道存在一个找到的数字 c 通过将开发后的多项式的所有系数求和。事实证明 c 的确切值无关紧要，因此您无需计算它，所有事情是我们证明了它的存在，因此（n + a） b 是 O（n b ）。