Coq：如何引用由特定构造函数生成的类型？

Question

例如，如果我定义一个从nat到nat的函数，它将是

Definition plusfive(a:nat): nat := a + 5.

但是，我想定义一个函数，其参数是使用“ S”构造函数（即非零）构造的nat，是否可以直接指定为类型？像

Definition plusfive(a: nat.S): nat := a + 5.

（我知道在这种情况下，我还可以添加一个证明a非零的参数，但我想知道是否有可能直接基于'S'构造函数来命名类型）。

Answer 1

功能必须完整，因此您必须使用某些子类型而不是nat，或者添加一个减少输入空间的参数，例如(H: a<>0)

Definition plusfive(a:nat) (H:a<>0) :=
  match a as e return a=e -> _ with
  | S _ => fun _  => a + 5
  | _   => fun H0 => match (H H0) with end
  end eq_refl.

但是，已经发现在大型开发中使用这些技巧非常麻烦，并且通常在基本类型上使用完整的函数，这些函数为错误的输入值返回伪值，并证明该函数已被调用具有正确的参数和功能定义。例如，请参见标准库中如何定义除法。

Require Import Nat.
Print div.

div = 
fun x y : nat => match y with
                 | 0 => y
                 | S y' => fst (divmod x y' 0 y')
                 end
     : nat -> nat -> nat

因此Compute (div 1 0).给您0。

令人高兴的是，您可以直接在表达式中使用div，而不必插入分母为非零的证明。然后在定义了表达式之后， 证明表达式正确，而不是同时进行。