Question

我正在尝试解决以下问题。

这是我编写的代码

import numpy as np
import math
sum = 4
while sum <= 13:
    b = 10**(-sum)
    x = (math.sqrt(9+b)-3)/(b)
    print(x)
    sum +=1

给出以下结果

0.16666620370475727
0.1666666203714584
0.1666666618049817
0.1666666671340522
0.1666666804567285
0.1666666804567285
0.1666666804567285
0.1666666804567285
0.16653345369377348
0.16431300764452317

我不确定我的代码是否正确。当我将n的13插入Wolfram的原始方程式时，我得到了一些不同。我认为随着距离13越来越近，它将接近0.1666666。

我又如何从中制作图表？我想这将是观察结果的最好方法。

Answer 1

这是与情节一起的完整解决方案。说明：np.logspace(4, 13, 10)将x的值创建为10 ^（4），10 ^（5），10 ^（6）... 10 ^（13）。您将其输出取反值，以得到所需的x点为10 ^（-4），10 ^（-5），10 ^（-6）... 10 ^（-13）。然后，您可以遍历这些x值并求解方程式。将每个x的输出值保存在列表中，然后将其绘制出来。

还有其他矢量化方法，而无需创建循环。但这应该可以帮助您入门。

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
xmesh = 1./np.logspace(4, 13, 10)
result = []

for x in xmesh:
    elem = (math.sqrt(9+x)-3)/(x) # removed 'b' because xmesh is already inverse
    result.append(elem) # Adds each element to the list for later plotting

plt.semilogx(xmesh, result, '-bo') # Uses a logarithmic x-axis
plt.gca().invert_xaxis() # Inverts the x-axis because you want it so as per comments
plt.xlabel('1/x', fontsize=16)
plt.ylabel('y', fontsize=16)
plt.show()

输出

使用您的代码

以下是如何在无需大量修改的情况下使用您的代码使其工作

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
sum = 4
xmesh = 1./np.logspace(4, 13, 10)
result = []
while sum <= 13:
    b = 10**(-sum)
    x = (math.sqrt(9+b)-3)/(b)
    result.append(x)
    sum +=1
plt.semilogx(xmesh, result, '-bo')    
plt.gca().invert_xaxis()
plt.xlabel('1/x', fontsize=16)
plt.ylabel('y', fontsize=16)
plt.show()

矢量化方法

import numpy as np

xmesh = 1./np.logspace(4, 13, 10)
result = (np.sqrt(9+xmesh)-3)/(xmesh) # No need to loop. Used `np.sqrt`

plt.semilogx(xmesh, result, '-bo')
plt.gca().invert_xaxis()

Answer 2

我不确定我的代码是否正确。

您的代码正确。

您看到的是浮数有限精度的结果。

(sqrt(9+x)-3)/x 的 x→0 的限制是 1/6 ，而对于 x 您具有接近 1/6 但不同的值当 x 变得非常小时，分子受math.sqrt结果的舍入的影响，因此收敛到极限值。< / p>

对于 x 的较小值，可以使用二项式近似来近似分子（9 + x）^ 0.5-3 = 3 *（1 + x / 9）^ 0.5-3≈3 *（1 + x / 18）-3 = 3 + x / 6-3 = x / 6，让我们看看使用Python发生了什么

>>> for n in range(7,16):
...   x = 10**(-n)
...   print('%2d %10e %s %15e %15e'%(n, x, repr(sqrt(9+x)), sqrt(9+x)-3, x/6))
... 
 7 1.000000e-07 3.0000000166666667    1.666667e-08    1.666667e-08
 8 1.000000e-08 3.000000001666667     1.666667e-09    1.666667e-09
 9 1.000000e-09 3.0000000001666667    1.666667e-10    1.666667e-10
10 1.000000e-10 3.0000000000166667    1.666667e-11    1.666667e-11
11 1.000000e-11 3.0000000000016667    1.666667e-12    1.666667e-12
12 1.000000e-12 3.0000000000001665    1.665335e-13    1.666667e-13
13 1.000000e-13 3.0000000000000164    1.643130e-14    1.666667e-14
14 1.000000e-14 3.0000000000000018    1.776357e-15    1.666667e-15
15 1.000000e-15 3.0000000000000004    4.440892e-16    1.666667e-16

我使用repr(...)来显示平方根结果中的有效数字，您会看到不同的并发现象①用于表示 x / 6的有效数字的数量正在减少，②在计算平方根时会失去精度，并且③当您从基本正确的结果(3+δ)中减去3时，这些 small 效应会被抵消效应放大。 / p>

我又如何从中制作图表？我想这将是观察结果的最好方法。

如您所见，不必绘制结果图表即可了解问题所在！！！

当您认识到四舍五入引起的不稳定后，要做的是解决问题的最后一部分，

是否有更好的方法来评估此表达式？

使用python解释结果

2 个答案: