Question

我定义了2种值和一个强制转换函数：

theory FSetIndTest
  imports Main "~~/src/HOL/Library/FSet"
begin

datatype val1 = A | B
datatype val2 = C | D

inductive cast_val :: "val1 ⇒ val2 ⇒ bool" where
  "cast_val A C"
| "cast_val B D"

此外，我为值列表定义了强制转换功能：

inductive cast_list :: "val1 list ⇒ val2 list ⇒ bool" where
  "cast_list [] []"
| "cast_val x y ⟹ cast_list xs ys ⟹ cast_list (x#xs) (y#ys)"

code_pred [show_modes] cast_list .

values "{x. cast_list [A, B] x}"
values "{x. cast_list x [C, D]}"

我需要为fset定义一个类似的函数。

这是第一次尝试。似乎生成的实现是非终止的：

inductive cast_fset1 :: "val1 fset ⇒ val2 fset ⇒ bool" where
  "cast_fset1 {||} {||}"
| "cast_val x y ⟹ cast_fset1 xs ys ⟹
   cast_fset1 (finsert x xs) (finsert y ys)"

code_pred [show_modes] cast_fset1 .

(*values "{x. cast_fset1 {|A, B|} x}"*)

这是另一种尝试。给定第一个参数，不允许计算第二个参数：

inductive cast_fset2 :: "val1 fset ⇒ val2 fset ⇒ bool" where
  "⋀x y. x |∈| xs ⟹ y |∈| ys ⟹ cast_val x y ⟹
   cast_fset2 xs ys"

code_pred [show_modes] cast_fset2 .

以下版本可以正常工作，但是使用功能性cast_val_fun而不是归纳cast_val。而且它仅在一个方向上起作用：

fun cast_val_fun :: "val1 ⇒ val2" where
  "cast_val_fun A = C"
| "cast_val_fun B = D"

inductive cast_fset3 :: "val1 fset ⇒ val2 fset ⇒ bool" where
  "cast_fset3 x (fimage cast_val_fun x)"

code_pred [show_modes] cast_fset3 .

values "{x. cast_fset3 {|A, B|} x}"

这是另一个非终止的实现：

inductive cast_fset4 :: "val1 fset ⇒ val2 fset ⇒ bool" where
  "cast_list xs ys ⟹
   cast_fset4 (fset_of_list xs) (fset_of_list ys)"

code_pred [show_modes] cast_fset4 .

(*values "{x. cast_fset4 {|A, B|} x}"*)

您能否建议在终止实现的情况下为fsets定义强制转换功能的归纳版本？

更新：

为cast_fset1生成以下代码：

  cast_fset1_o_o =
  sup (Predicate.bind (Predicate.single ()) (λx. case x of () ⇒ Predicate.single ({||}, {||})))
   (Predicate.bind (Predicate.single ())
     (λx. case x of
          () ⇒
            Predicate.bind cast_fset1_o_o
             (λx. case x of
                  (xs_, ys_) ⇒
                    Predicate.bind cast_val_o_o
                     (λxa. case xa of
                           (x_, y_) ⇒ Predicate.single (finsert x_ xs_, finsert y_ ys_)))))

  cast_fset1_i_o ?xa =
  sup (Predicate.bind (Predicate.single ?xa)
        (λx. if x = {||} then Predicate.single {||} else bot))
   (Predicate.bind (Predicate.single ?xa)
     (λx. Predicate.bind cast_fset1_o_o
           (λxa. case xa of
                 (xs_, ys_) ⇒
                   Predicate.bind cast_val_o_o
                    (λxb. case xb of
                          (xa_, y_) ⇒
                            if x = finsert xa_ xs_ then Predicate.single (finsert y_ ys_)
                            else bot))))

cast_fset1_i_o调用cast_fset1_o_o。后者是非终止的。我认为这是因为fset没有任何构造函数。但是我不知道如何解决它。如何在没有构造函数的情况下为数据类型生成代码？

更新2：

多集的行为相同：

code_pred [show_modes] rel_mset' .

values 2 "{x. (rel_mset' cast_val) {#A, B#} x}"

返回{mset [D, C], mset [C, D]} ∪ ...

mset [D, C]和mset [C, D]相等。以下表达式返回的Abs_fset {D, C}和Abs_fset {C, D}也相等：

values 2 "{x. cast_fset1 {|A, B|} x}"

如何为fset，multiset ...定义一个归纳谓词，以便它使用某些规范列表表示来计算集合并且不返回重复值？

如何在fset上定义一个归纳谓词？

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