Question

我正在尝试再现实际参数'tau'和估计参数for over a month :(之间的均方误差。通过最大似然估计（MLE）获得估计的'tau'，即'tau_hat'。

联合概率密度函数f(y|x,tau)由

给出

其中u_i = x_i +T和T~IG(mu,lambda)。 IG：逆高斯。 u是y的期望值。 f_T(t)的pdf由

给出

基于此website，我编写的代码是

    clear
    lambda  =   8.1955;
    mu      =   10;
    N       =   128; % max number of molecules
    x       =   zeros(N,1); % transmission time of the molecules from the Tx; for K = 1
    tau     =   .5; % arbitrary initital tau
    simN    =   1000 ; % # runs per N 
    no_molecules_per_simN   =  [4, 8, 32, 64, N];
    tau_hat   =   zeros(size(no_molecules_per_simN));

    for ii=1: length(no_molecules_per_simN)

        Lkeh  = zeros(1,length(no_molecules_per_simN(ii)));  % inititalize likelihood array

        for jj=1: simN
            T               =  random('InverseGaussian', mu,lambda, [no_molecules_per_simN(ii),1]); % random delay
            y_prime         =  x(1:no_molecules_per_simN(ii)) + T + tau; % arrival time of the molecules seen by the Rx
            y_prime_sort    =  sort(y_prime); % to arrange them in the ascending order of arrival
            u               =  y_prime_sort;  % assign to u variable
            t               =  u - x(1:no_molecules_per_simN(ii)) - tau;
            for kk = 1: length(u)
                % applying the likelihood function to eq. 3 and ignoring the constant terms
                 %linear likelihood
%             Lkeh(jj,kk)    =  prod(t(kk).^-1.5).*exp(-sum((t(kk) - mean(t)).^2./t(kk)).*(lambda./(2.*mean(t).^2 )));

% [UPDATE to the code]
            % log likelihood
            Lkeh(jj,kk)    =   -1.5*sum(t(kk))-(lambda./(2.*mu.^2 )).*sum((t(kk) - mu).^2./t(kk));

            end

        end
        Lkeh_mean       =  mean(Lkeh,1); % averging the values
    % [UPDATE to the code]
        [maxL,index]    =  max(Lkeh_mean);
        t_hat(ii)       =   T(index) ; % this will give the likelihood value of the propagation delay
        tau_hat(ii)     =   mean(u -  x(1:no_molecules_per_simN(ii)) - t_hat(ii)); % reverse substitution

    end

    MSE = zeros(size(tau_hat)); % initializing the array for MSE

    for ii=1:length(tau_hat)
        MSE(ii) = immse(tau,tau_hat(ii)); % mean squared error
    end

    figure
    loglog(no_molecules_per_simN,MSE,'-o')
    xlabel('n_{1}(quantity of molecules)')
    ylabel('MSE(sec^{2})')
    grid on

我得到的结果是

但是，我应该获得红色箭头所指的那个

我在代码中犯了什么错误？我不太确定如何计算argmax。供您参考，我指的是here。

Answer 1

我无法运行您的代码，因为它需要一些我没有的工具箱。也就是说，以下行：

tau_hat(ii)     =  max(Lkeh);

将为您提供可能性的最大值。那不是您真正想要的，那是您达到最大可能性的tay_hat 。

对于给定的tay_hat值，您需要一个tay函数，将tay_hat映射到可能性中。假设这就是您在此处所做的事情，我不确定对tay_hat的依赖关系在哪里。假设Lkeh是我刚才所描述的

[maxLikelihoodValue, maxLikelihoodIndex] = max(Lkeh);

使用max函数的两个输出，您将获得最大似然值，以及最重要的是发生最大值的索引。如果您已明确定义tay向量，则tay_hat将简单地由

给出

tay_hat = tay（maxLikelihoodIndex）;

从根本上说，tay的价值就是您获得最大可能性，而不是最大可能性本身。

为您提供一个玩具示例，假设您的似然函数为 L（x）= -x ^ 2-2 * x，

假设它是离散的，这样

 x = linspace(-2,2,30);

那么L的离散版本将是

L_x = -x.^2 -2*x;

然后最大似然值将简单地由

给出

max(L_x);

恰好是0.9988（实际上接近准确值）

但是您追求的是the value of x at which this maximum occurs。

因此，您首先通过以下步骤提取获得最大值的索引：

[maximumLikelihood, maxLikIndex ] = max(L_x) ;

然后找到该索引处x的估计值，只需使用以下命令即可请求该索引处x的值：

x (maxLikIndex)

大约是-1.0，与预期的一样。在您的示例中，您想估计最可能的tau_hat（在常识框架中）由最大化您的函数的值给出（而不是函数本身的最大值）。

高斯逆分布的最大似然估计

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