我是否过度简化了计算复杂度

Question

我只是想计算某些程序片段的复杂度，但是我担心自己做的太简单了。如果我放下片段和答案，您能告诉我我做错了什么吗？

（a）

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
    sum++;

答案：n，只有一个for循环

（b）

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
    for (k = 0;k < n*n;k++)
        sum++;

答案：因为嵌套循环，所以n ^ 2，尽管我想知道嵌套循环中的n * n是否使它成为n ^ 3

（c）

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
    for (k = 0;k < i;k++)
        sum++;

答案：n ^ 2

（d）

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
    for (k = 0;k < i*i;k++)
        sum++;

答案：n ^ 2，但我和b有同样的担忧

（e）

sum= 0;
for (i = 0;i < n;i++)
    for (k = i;k < n;k++)
        sum++;

答案：n ^ 2

Answer 1

由于在您的所有示例中，主要操作都是sum++，所以我们必须计算该基本操作的执行次数。

此外，在所有情况下，还有i++和k++也很重要。最后，必须在每个步骤将这些计数器与它们的限制进行比较，并且我们还应该考虑这些比较。现在，这些额外的操作不会更改迭代次数。它们只是使每次迭代变得更加昂贵。例如，

（a）

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
  sum++;

重复n次：i++，sum++和i<n，所有这些都使3n操作具有相似的复杂性。这就是总复杂度为O(n)的原因。

一旦了解了这一点，就不再需要对复杂性进行详细分析，因为big-O表示法将处理这些额外的计算。

第二个例子

sum = 0;
for (i = 0;i < n;i++)
  for (k = 0;k < n*n;k++)
    sum++;

重复n次操作

  for (k = 0;k < n*n;k++)
    sum++;

由于前一种情况，此操作的复杂度为O(n*n)，因为这里的限制是n*n而不是n。因此，总复杂度为O(n*n*n)。

第三个示例是相似的，只是这次执行的操作n次是

for (k = 0;k < i;k++)
    sum++;

，其复杂度随i而变化。因此，我们不必将n乘以n，而是将不同的东西相加：

O(1) + O(2) + ... + O(n)

，由于O中隐含的常数因子始终是相同的（=每个基本步骤要增加或比较的变量数），我们可以将其重写为

O(1 + 2 + ... + n) = O(n(n+1)/2) = O(n*n)

其他示例很相似，可以按照这些相同的想法进行分析。