我想使用NTT实现多项式的乘法。我遵循了Number-theoretic transform (integer DFT)，它似乎可以正常工作。
现在，我想在有限域Z_p[x]上实现多项式的乘法，其中p是任意质数。
与以前的无界情况相比，它现在是否改变了系数p所界定的范围？
特别是，原始NTT需要找到质数N作为大于(magnitude of largest element of input vector)^2 * (length of input vector) + 1的工作模数，以便结果永不溢出。如果结果无论如何都会受到该p的限制，那么模数可以是多少？请注意，p - 1的格式不必为(some positive integer) * (length of input vector)。
编辑：我从上面的链接中复制粘贴了源代码以说明问题：
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# Number-theoretic transform library (Python 2, 3)
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# All rights reserved. Contact Nayuki for licensing.
# https://www.nayuki.io/page/number-theoretic-transform-integer-dft
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import itertools, numbers
def find_params_and_transform(invec, minmod):
check_int(minmod)
mod = find_modulus(len(invec), minmod)
root = find_primitive_root(len(invec), mod - 1, mod)
return (transform(invec, root, mod), root, mod)
def check_int(n):
if not isinstance(n, numbers.Integral):
raise TypeError()
def find_modulus(veclen, minimum):
check_int(veclen)
check_int(minimum)
if veclen < 1 or minimum < 1:
raise ValueError()
start = (minimum - 1 + veclen - 1) // veclen
for i in itertools.count(max(start, 1)):
n = i * veclen + 1
assert n >= minimum
if is_prime(n):
return n
def is_prime(n):
check_int(n)
if n <= 1:
raise ValueError()
return all((n % i != 0) for i in range(2, sqrt(n) + 1))
def sqrt(n):
check_int(n)
if n < 0:
raise ValueError()
i = 1
while i * i <= n:
i *= 2
result = 0
while i > 0:
if (result + i)**2 <= n:
result += i
i //= 2
return result
def find_primitive_root(degree, totient, mod):
check_int(degree)
check_int(totient)
check_int(mod)
if not (1 <= degree <= totient < mod):
raise ValueError()
if totient % degree != 0:
raise ValueError()
gen = find_generator(totient, mod)
root = pow(gen, totient // degree, mod)
assert 0 <= root < mod
return root
def find_generator(totient, mod):
check_int(totient)
check_int(mod)
if not (1 <= totient < mod):
raise ValueError()
for i in range(1, mod):
if is_generator(i, totient, mod):
return i
raise ValueError("No generator exists")
def is_generator(val, totient, mod):
check_int(val)
check_int(totient)
check_int(mod)
if not (0 <= val < mod):
raise ValueError()
if not (1 <= totient < mod):
raise ValueError()
pf = unique_prime_factors(totient)
return pow(val, totient, mod) == 1 and all((pow(val, totient // p, mod) != 1) for p in pf)
def unique_prime_factors(n):
check_int(n)
if n < 1:
raise ValueError()
result = []
i = 2
end = sqrt(n)
while i <= end:
if n % i == 0:
n //= i
result.append(i)
while n % i == 0:
n //= i
end = sqrt(n)
i += 1
if n > 1:
result.append(n)
return result
def transform(invec, root, mod):
check_int(root)
check_int(mod)
if len(invec) >= mod:
raise ValueError()
if not all((0 <= val < mod) for val in invec):
raise ValueError()
if not (1 <= root < mod):
raise ValueError()
outvec = []
for i in range(len(invec)):
temp = 0
for (j, val) in enumerate(invec):
temp += val * pow(root, i * j, mod)
temp %= mod
outvec.append(temp)
return outvec
def inverse_transform(invec, root, mod):
outvec = transform(invec, reciprocal(root, mod), mod)
scaler = reciprocal(len(invec), mod)
return [(val * scaler % mod) for val in outvec]
def reciprocal(n, mod):
check_int(n)
check_int(mod)
if not (0 <= n < mod):
raise ValueError()
x, y = mod, n
a, b = 0, 1
while y != 0:
a, b = b, a - x // y * b
x, y = y, x % y
if x == 1:
return a % mod
else:
raise ValueError("Reciprocal does not exist")
def circular_convolve(vec0, vec1):
if not (0 < len(vec0) == len(vec1)):
raise ValueError()
if any((val < 0) for val in itertools.chain(vec0, vec1)):
raise ValueError()
maxval = max(val for val in itertools.chain(vec0, vec1))
minmod = maxval**2 * len(vec0) + 1
temp0, root, mod = find_params_and_transform(vec0, minmod)
temp1 = transform(vec1, root, mod)
temp2 = [(x * y % mod) for (x, y) in zip(temp0, temp1)]
return inverse_transform(temp2, root, mod)
vec0 = [24, 12, 28, 8, 0, 0, 0, 0]
vec1 = [4, 26, 29, 23, 0, 0, 0, 0]
print(circular_convolve(vec0, vec1))
def modulo(vec, prime):
return [x % prime for x in vec]
print(modulo(circular_convolve(vec0, vec1), 31))
打印：
[96, 672, 1120, 1660, 1296, 876, 184, 0]
[3, 21, 4, 17, 25, 8, 29, 0]
但是，当我将minmod = maxval**2 * len(vec0) + 1更改为minmod = maxval + 1时，它将停止工作：
[14, 16, 13, 20, 25, 15, 20, 0]
[14, 16, 13, 20, 25, 15, 20, 0]
为了达到预期效果，最小的minmod（在上面的链接中的N）是什么？
答案 0 :(得分：1)
如果您输入的n整数绑定到某个质数q（任何mod q不仅是质数都将是相同的），您可以将其用作max value +1，但请注意，您不能将其用作 NTT 的素数p，因为 NTT 素数p具有特殊的属性。他们都在这里：
因此，每个输入的最大值为q-1，但在您的任务计算过程中（对2个 NTT 结果进行卷积），第一层结果的大小可以上升到n.(q-1)但是当我们对它们进行卷积时，最终 iNTT 的输入幅度将上升为：
m = n.((q-1)^2)
如果您在 NTT 上执行的操作不同于m等式，则可能会发生变化。
现在让我们回到p，因此简而言之，您可以使用支持这些的任何素数p：
p mod n == 1
p > m
并且存在1 <= r,L < p这样：
p mod (L-1) = 0
r^(L*i) mod p == 1 // i = { 0,n }
r^(L*i) mod p != 1 // i = { 1,2,3, ... n-1 }
如果这一切都得到满足，那么p将是第n个统一根，并可用于 NTT 。要找到这样的素数和r,L，请查看上面的链接（有C ++代码可以找到这样的素数。）
例如，在字符串乘法期间，我们对它们进行2个字符串 NTT ，然后对结果进行卷积，并 iNTT 返回结果（这是两个输入大小的总和）。例如：
99999999999999999999999999999999
*99999999999999999999999999999999
----------------------------------------------------------------
9999999999999999999999999999999800000000000000000000000000000001
q = 10和两个操作数均为9 ^ 32，因此n=32因此为m = 9*9*32 = 2592，找到的素数为p = 2689。如您所见，结果匹配，因此不会发生溢出。但是，如果我使用仍然适合所有其他条件的任何较小的质数，则结果将不匹配。我专门用它来尽可能地拉伸NTT值（所有值均为q-1，大小等于2的幂次）
如果您的 NTT 很快并且n不是2的幂，那么您需要将每个 NTT < / strong>。但这不会影响m的值，因为零填充不应该增加值的大小。我的测试证明了这一点，因此您可以使用卷积：
m = (n1+n2).((q-1)^2)/2
其中n1,n2是零填充之前的原始输入大小。
有关实现 NTT 的更多信息，您可以在 C ++ （经过全面优化）中检出我的信息：
因此，请回答您的问题：
是的，您可以利用以下事实：输入为mod q，但不能将q用作p！
您只能将minmod = n * (maxval + 1)用于单个NTT（或NTT的第一层），但是由于在NTT使用过程中将它们与卷积链接在一起，因此不能在最后的INTT阶段使用它!!!
但是，正如我在评论中提到的那样，最简单的方法是使用最大的p来适应您正在使用的数据类型，并且可用于支持2种输入大小的所有幂次。
这基本上使您的问题变得无关紧要。我只能想到不可能/不希望出现这种情况的唯一情况是在没有“最大”限制的任意精度数字上。绑定到变量p的性能有很多问题，因为对p的搜索确实很慢（甚至可能比 NTT 本身还要慢），而且变量p禁用了使 NTT 真正慢的所需的模块化算法的许多性能优化。