Question

我无法理解这些指数：

为什么指数0000 0000 = -126而不是-127（即0-127）？
- 指数1111 1111的确切值是什么？
- 为什么0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000等于无穷大？

我对这一切都是新手，所以请简单地解释一下！谢谢！

Answer 1

为什么指数0000 0000 = -126而不是-127（即0-127）？

对于大多数正常指数，当我们到达有效位数范围的底部时，我们将下一个指数。例如，从1（含）到2（不含）的可表示数字按降序排列：

1.11…111•2 ⁰，
1.11…110•2 ⁰，
1.11…101•2 ⁰，
1.11…100•2 ⁰，
…
1.00…011•2 ⁰，
1.00…010•2 ⁰，
1.00…001•2 ⁰，
1.00…000•2 ⁰。

然后，当移至下一个较低的数字时，我们将调整指数，因此下一个较低的数字为：

1.11…111•2 ⁻¹，
1.11…110•2 ⁻¹，
1.11…101•2 ⁻¹，
1.11…100•2 ⁻¹，
…

现在，当我们处于最低法线指数时，该范围内的最低数字为：

1.00…011•2 ⁻¹²⁶，
1.00…010•2 ⁻¹²⁶，
1.00…001•2 ⁻¹²⁶，
1.00…000•2 ⁻¹²⁶。

为了继续进行下去，我们决定最后一步是将前导位更改为0而不是1。这里有一个选择：指数字段中为零的数字可以延续该模式，继续到指数−127，因此下一个可表示的数字将是1.11…111•2 ⁻¹²⁷，否则它们可能会停留在指数−126处，但是将前导位更改为0而不是1。

如果模式继续，那么例如1.11…111•2 ⁻¹²⁷和1.11…110•2 ⁻¹²⁷都是可表示的数字，但是它们的差0.00…001•2 ⁻¹²⁷ = 1•2 ⁻¹⁵⁰，将无法表示。因此，如果x和y是这些数字，由于四舍五入（四舍五入到最接近的可表示值）时，它们的计算差值x-y必须为0。但是，有时人们会这样写代码：

if (x == y)
    Handle special case.
else
    Handle normal case with some calculation involving division by x-y.

因此，将指数模式延续到-127将会破坏一些代码，并使浮点算法以不希望的方式起作用。因此，选择中断模式，将指数保持在-126，并使前导位0而不是1。然后下一个可表示的数字是：

0.11…111•2 ⁻¹²⁶，
0.11…110•2 ⁻¹²⁶，
0.11…101•2 ⁻¹²⁶，
0.11…100•2 ⁻¹²⁶，
…
0.00…011•2 ⁻¹²⁶，
0.00…010•2 ⁻¹²⁶，
0.00…001•2 ⁻¹²⁶，
0.00…000•2 ⁻¹²⁶。

您会看到我们只在1.00…000•2 ⁻¹²⁶之后才需要0.11…111•2 ⁻¹²⁶。相反，如果它是0.11…111•2 ⁻¹²⁷，则将存在一个间隙，即其大小的一半。

1111 1111指数的确切值是什么？

当指数字段为1111 1111时，它不代表常规浮点格式的任何数字指数。指数字段中的值是特殊值（无穷大和NaN）的代码。

为什么0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000等于无穷大？

没有数学原因。无穷大并非来自对有效位数和指数进行的任何数学运算。刚刚决定，指数字段1111 1111将表示无穷大和NaN，并且当有效位数字段全为零时，它将表示无穷大；而当有效位数字段并非全为零时，它将表示NaN。

Answer 2

单精度浮点的指数偏差为127。这意味着指数值127（1000 0000）的实际指数为零，而指数值为1（{{1} }）的实际指数为-126。

全零位或全一位（0000 0001或0000 0000）的指数值不是实际指数，而是触发特殊情况的行为。全零指数意味着尾数中没有隐含的前导；这用于subnormal numbers。然后，使用一个全指数来标记该值是无穷大，负无穷大还是NaN，具体取决于符号位和尾数位。

为了进一步阅读，The Floating Point Guide有一个简单易懂的解释，当然，如果您真的想要精髓，Goldberg's paper就是最好的选择。

了解IEEE

2 个答案: