如何从图中获取Voronoi站点点

Question

说我们从某个地方得到了一个Voronoi图，但是没有一点。

像这样，但没有红点：

我们只有边界。

是否有任何算法可以帮助检索点？

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如果我们有延伸很长的无限的Voronoi图，该怎么办？我们可以计算至少一点还是有启发式算法吗？

Answer 1

对于Voronoi图的单个相交，通常将具有3条边，并且在这些边之间有3个扇区。将扇区（及其角度）称为A，B和C。另外，将扇区A和B之间的边缘称为边缘ab，并将边缘bc和ca也称为边缘。

在每个部门中都应有一个原始站点；让站点a成为扇区A中的站点，扇区b中的站点B和扇区c中的站点C。 请注意，与扇区边界两侧的站点的角度必须相等，因为从Voronoi边缘到每个站点的距离必须相等。例如，从站点a到边缘ab的角度必须与从边缘ab到站点b的角度相同；将此角度称为X。同样，将角度Y设为从位置b到边缘bc以及从bc到位置c的角度；和Z从c到ca以及从ca到a的角度。

这为您提供了等式：

A = Z + X
B = X + Y
C = Y + Z

解决方案（简化为A + B + C == 2 * pi）：

X = (A + B - C)/2 = pi - C
Y = (B + C - A)/2 = pi - A
Z = (C + A - B)/2 = pi - B

这使您可以从任何Voronoi交叉点到其3个站点的射线。从相邻的Voronoi交叉点到同一单元站点的光线交点将为您提供该站点的位置。

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然后，回答第二个问题：如果只有3个站点，则只能有一个Voronoi交叉点。在这种情况下，您将无法确定站点-只能确定它们与交叉点的角度。

在所有其他一般情况下，您可以找到至少一个如上所述的站点；然后，通过Voronoi边缘的反射可以确定所有其他位置的位置，包括只有一个Voronoi交点的末梢细胞。

Answer 2

这个问题在1985年由Ash和Bolker进行了调查并得到了解决。 可以完成早期工作的更现代的版本，请参见：

  

Biedl，Therese，Martin Held和Stefan Huber。 “识别直线骨架和Voronoi图并重建它们的输入。”在科学与工程中的维罗诺伊图（ISVD），2013年第10届国际研讨会上，第37-46页。 IEEE，2013年。   （IEEE link。）

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^{（图片来自Stefan Huber。）}

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