最小化3-d中与点集的欧几里得距离

Question

让我们看一下3维空间中的四个（m）点-我想将其推广为n维，但是3个足以满足要求（第1部分）。

a= (x1, y1, z1)

b= (x2, y2, z2)

c= (x3, y3, z3)
.
.

p= (x , y , z)

Find point q = c1* a + c2* b + c3* c + ..

where c1 + c2 + c3 +.. = 1
and  c1, c2, c3, .. >= 0
s.t.
euclidean distance pq is minimized.

可以使用哪些算法？想法或伪代码就足够了。

第2部分：在n维中求解m个点：

我认为将n个维度上的m个点归纳起来是微不足道的，但是事实证明这并不简单。我为此处的一般问题创建了另一个问题：minimize euclidean distance from sets of points in n-dimensions

Answer 1

我认为您可以通过将点P投影到由三个点A, B, C或两个向量{{1}定义的平面上，将您的3D问题简化为一个简单的仿射2D几何问题}和AB（或AC的其他组合）。

乍一看，似乎3 + 1点的问题可以推广到N个维度（3个点始终定义一个三角形和一个平面）。
但是，目前尚不清楚这种方法是否适用于更多不共面的点。

通过将AB, AC, and BC投影到向量P和P'所定义的平面上的点AB，将

1-还原为2D。

2-了解AC的位置仅由一个系数P' s.t确定。 t in the Reals是P'和AB的仿射组合：
AC

3-从那里开始，P' = t * AB + (1-t) * AC可以位于3个不同的位置：

• （a）在三角形P'内：在这种情况下，ABC

• （b）在由的正交向外投影限定的区域中 细分市场之一；在这种情况下，Q = P'是 Q位于最接近的细分受众群上。

• （c）不在（a）或（b）中；在最后一个琐碎的情况下，P'是最接近的 的Q

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