查找阵列中峰元素的最佳算法

Question

到目前为止，我还没有找到解决该任务的算法：“一个元素是 当且仅当(A[i]>A[i+1])&&(A[i]>A[i-1])，不是时，才视为峰值 考虑到array（1D）的边缘。”

我知道解决此问题的常用方法是使用“分而治之”，但这是在将边缘视为“峰”的情况下。

此练习需要获得的O（..）复杂度为 O（log（n））。

通过上面的图片，我很清楚为什么它是O（log（n）），但是没有将边缘复杂度更改为O（n），因为在下面的图片中我递归运行 函数在中间元素的每一侧都起作用，这使其在O（n）中运行（最坏的情况是元素靠近边缘）。在这种情况下，为什么不使用像这样的简单二进制搜索：

public static int GetPeak(int[]A)
    {

        if(A.length<=2)//doesn't apply for peak definition
        {
            return -1;
        }
        else {

        int Element=Integer.MAX_VALUE;//The element which is determined as peak

        // First and Second elements can't be hills
        for(int i=1;i<A.length-1;i++)
        {
            if(A[i]>A[i+1]&&A[i]>A[i-1])
            {
                Element=A[i];
            break;
            }
            else
            {
                Element=-1;
            }

        }
        return Element;
        }

常见算法写在这里：http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec02.pdf，但是正如我之前所说，它不适用于本练习的条款。

仅返回一个峰，否则返回-1。

此外，如果由于语言障碍（我不是英语为母语的人），该帖子措辞不当，我深感抱歉。

Answer 1

我认为您正在寻找一种利用分而治之的动态编程方法。本质上，您将拥有一个默认值的峰值，当您发现一个默认值时，它将被覆盖。如果您可以检查方法的开头并仅在未找到峰的情况下运行操作，则您的O（）表示法类似于<div ref="{refName}">Hello!</div> ，其中O(pn)是给定值的概率数组的元素是一个峰，这是一个可变术语，因为它与数据的结构（或不）相关。例如，如果您的数组仅具有1到5之间的值，并且它们的分布均匀，则该概率将等于0.24，因此您希望算法在p中运行。请注意，这似乎仍然等同于O(0.24n)。但是，如果您要求数组中的数据值唯一，那么您的概率就等于：

O(n)

所以，这似乎很多，但是如果我们在p = 2 * sum( [ choose(x - 1, 2) for x in 3:n ] ) / choose(n, 3) p = 2 * sum( [ ((x - 1)! / (2 * (x - 3)!)) for x in 3:n ] ) / (n! / (n - 3)!) p = sum( [ (x - 1) * (x - 2) for x in 3:n ] ) / (n * (n - 1) * (n - 2)) p = ((n * (n + 1) * (2 * n + 1)) / 6 - (n * (n + 1)) + 2 * n - 8) / (n * (n - 1) * (n - 2)) p = ((1 / 3) * n^3 - 5.5 * n^2 + 6.5 * n - 8) / (n * (n - 1) * (n - 2)) 接近无穷大时取极限，那么n的值将接近1/3。

因此，如果我们有33％的机会在数组中的任何元素上找到峰，那么当您有1/3的概率找到峰时，则在递归的最低级别。因此，在找到一个比较之前，此值的期望值约为3个比较，这意味着时间恒定。但是，在进行比较之前，您仍必须先到达递归的最底层，这需要p时间。因此，在一般情况下，分治法应该在O(log(n))时间内运行，而在最坏的情况下，O(log(n))应该运行。

Answer 2

如果您不能对数据做任何假设（数字序列的单调性，峰数），并且如果边缘不能算作峰，那么您就无法希望获得比O(n)更好的平均性能。您的数据是随机分布的，任何值都可以是峰值。您必须一一检查它们，并且值之间没有关联。

接受边缘作为潜在的峰候选者会改变一切：您知道总是会有至少一个峰，并且一个足够好的策略是始终朝增加值的方向搜索，直到您开始下降或到达边缘（这是您提供的文档之一）。该策略为O(nlog(n))，因为您使用二进制搜索来查找局部最大值。