在“ xy + z≡0（mod k）”中求解x

Question

我需要在同余关系中求解x

  

xy + z≡0（mod k）

其中y，z和k是已知的。 （k可能不是素数。）

是否有比仅测试从0到k-1的所有值更好的算法？

我尝试使用数论，并得到了：

  

xy≡-z（mod k）
  x≡-z·（inverse（y）％k）（mod k）

但是在某些情况下我得到错误的结果。例如，如果k = 728，x = 272，y = 344，z = 344，则原始关系成立（因为272·344 + 344 = 129·728），但最后一个关系不成立。我在做什么错了？

Answer 1

您的解决方案失败是因为 The multiplicative inverse of “y modulo k” exists if and only if y and k are relatively prime (i.e., if gcd(y, k) = 1).在示例中，您选择y和k不是互质的
这是解决问题的另一种方法

  

xy + z≡0（mod k）
xy≡-z（mod k）
xy≡-z + k（mod k）
  令k-z = b
  xy≡b（mod k）

现在，您只需要求解线性同余方程。
解决您给定的示例看起来像

  

x * 344 + 344≡0（mod 728）
x * 344≡-344（mod 728）
x * 344≡-344 + 728（mod k）
  x * 344≡384（mod 728）

首先通过简化来简化为x * 43≡48（mod 91），然后使用扩展的欧几里得算法来解决这个问题，将其形式为

  

90 + 91 * t
  x小于728的解：90、181、272、363、454、545、636、727。

这样，您可以找到x的所有可能解。