数据框中变量之间的快速成对简单线性回归

时间：2018-08-21 17:13:51

标签： r performance regression linear-regression lm

我在Stack Overflow上看到了成对或一般成对的简单线性回归。这是解决此类问题的玩具数据集。

set.seed(0)
X <- matrix(runif(100), 100, 5, dimnames = list(1:100, LETTERS[1:5]))
b <- c(1, 0.7, 1.3, 2.9, -2)
dat <- X * b[col(X)] + matrix(rnorm(100 * 5, 0, 0.1), 100, 5)
dat <- as.data.frame(dat)
pairs(dat)

所以基本上我们想计算5 * 4 = 20条回归线：

-----  A ~ B  A ~ C  A ~ D  A ~ E
B ~ A  -----  B ~ C  B ~ D  B ~ E
C ~ A  C ~ B  -----  C ~ D  C ~ E
D ~ A  D ~ B  D ~ C  -----  D ~ E
E ~ A  E ~ B  E ~ C  E ~ D  -----

这是穷人的策略：

poor <- function (dat) {
  n <- nrow(dat)
  p <- ncol(dat)
  ## all formulae
  LHS <- rep(colnames(dat), p)
  RHS <- rep(colnames(dat), each = p)
  ## function to fit and summarize a single model
  fitmodel <- function (LHS, RHS) {
    if (RHS == LHS) {
      z <- data.frame("LHS" = LHS, "RHS" = RHS,
                      "alpha" = 0,
                      "beta" = 1,
                      "beta.se" = 0,
                      "beta.tv" = Inf,
                      "beta.pv" = 0,
                      "sig" = 0,
                      "R2" = 1,
                      "F.fv" = Inf,
                      "F.pv" = 0,
                      stringsAsFactors = FALSE)
      } else {
      result <- summary(lm(reformulate(RHS, LHS), data = dat))
      z <- data.frame("LHS" = LHS, "RHS" = RHS,
                      "alpha" = result$coefficients[1, 1],
                      "beta" = result$coefficients[2, 1],
                      "beta.se" = result$coefficients[2, 2],
                      "beta.tv" = result$coefficients[2, 3],
                      "beta.pv" = result$coefficients[2, 4],
                      "sig" = result$sigma,
                      "R2" = result$r.squared,
                      "F.fv" = result$fstatistic[[1]],
                      "F.pv" = pf(result$fstatistic[[1]], 1, n - 2, lower.tail = FALSE),
                      stringsAsFactors = FALSE)
        }
      z
      }
  ## loop through all models
  do.call("rbind.data.frame", c(Map(fitmodel, LHS, RHS),
                                list(make.row.names = FALSE,
                                     stringsAsFactors = FALSE)))
  }

逻辑很明确：获取所有对，构造模型公式（reformulate），拟合回归（lm），进行汇总summary，返回所有统计信息，然后{{ 1}}作为数据帧。

好的，但是如果有rbind个变量怎么办？然后，我们需要进行p回归！

我能想到的一个直接改进是Fitting a linear model with multiple LHS。例如，该公式矩阵的第一列被合并到

p * (p - 1)

这会将回归次数从cbind(B, C, D, E) ~ A 减少到p * (p - 1)。

但是，如果不使用p和lm，我们绝对可以做得更好。这是我以前的尝试：Is there a fast estimation of simple regression (a regression line with only intercept and slope)?。之所以快，是因为它使用变量之间的协方差进行估计，例如解决normal equation。但是其中的summary函数非常有限：

  1. 需要计算残差矢量以估计残差标准误差，这是性能瓶颈；
  2. 它不支持多个LHS，因此在成对回归设置中需要调用simpleLM次。

我们可以通过编写函数p * (p - 1)将其推广到快速成对回归吗？

一般配对简单线性回归

上述成对回归的一个更有用的变化是一组LHS变量和一组RHS变量之间的一般成对回归。

示例1

LHS变量pairwise_simpleLM，A，B和RHS变量C，D之间的拟合配对回归，即拟合6条简单线性回归线：

E

示例2

将具有多个LHS变量的简单线性回归拟合到特定的RHS变量，例如：A ~ D A ~ E B ~ D B ~ E C ~ D C ~ E 。

示例3

使用一个特定的LHS变量和一组RHS变量一次进行简单的线性回归，例如：

cbind(A, B, C, D) ~ E

我们还能为此提供快速功能A ~ B A ~ C A ~ D A ~ E 吗？

警告

  1. 所有变量必须为数字；不允许因素或成对回归没有意义。
  2. 由于在这种情况下方差-协方差方法不合理，因此不讨论加权回归。

1 个答案:

答案 0 :(得分：7)

一些统计结果/背景

（图片中的链接：Function to calculate R2 (R-squared) in R）

计算细节

这里涉及的计算基本上是方差-协方差矩阵的计算。一旦有了它，所有成对回归的结果就是按元素矩阵算术。

方差-协方差矩阵可以通过R函数cov获得，但函数低于compute it manually using crossprod。好处是，如果有的话，显然可以从优化的BLAS库中受益。请注意，以这种方式进行了大量简化。 R函数cov具有参数use，该参数允许处理NA，但crossprod不允许。我假设您的dat完全没有缺失值！如果确实缺少值，请使用na.omit(dat)自行删除。

将数据帧转换为矩阵的初始as.matrix可能会产生开销。原则上，如果我使用C / C ++编写所有代码，则可以消除这种强制性。实际上，许多基于元素的矩阵矩阵算法都可以合并到单个循环嵌套中。但是，我现在真的很烦（因为我没有时间）。

有些人可能会认为最终回报的格式不方便。可能还有其他格式：

  1. 数据帧列表，每个数据帧给出特定LHS变量的回归结果；
  2. 数据帧列表，每个数据帧均给出特定RHS变量的回归结果。

这实际上是基于意见的。无论如何，您始终可以在我返回给您的数据帧上通过“ LHS”列或“ RHS”列自己做一个split.data.frame。

R函数pairwise_simpleLM 

pairwise_simpleLM <- function (dat) {
  ## matrix and its dimension (n: numbeta.ser of data; p: numbeta.ser of variables)
  dat <- as.matrix(dat)
  n <- nrow(dat)
  p <- ncol(dat)
  ## variable summary: mean, (unscaled) covariance and (unscaled) variance
  m <- colMeans(dat)
  V <- crossprod(dat) - tcrossprod(m * sqrt(n))
  d <- diag(V)
  ## R-squared (explained variance) and its complement
  R2 <- (V ^ 2) * tcrossprod(1 / d)
  R2_complement <- 1 - R2
  R2_complement[seq.int(from = 1, by = p + 1, length = p)] <- 0
  ## slope and intercept
  beta <- V * rep(1 / d, each = p)
  alpha <- m - beta * rep(m, each = p)
  ## residual sum of squares and standard error
  RSS <- R2_complement * d
  sig <- sqrt(RSS * (1 / (n - 2)))
  ## statistics for slope
  beta.se <- sig * rep(1 / sqrt(d), each = p)
  beta.tv <- beta / beta.se
  beta.pv <- 2 * pt(abs(beta.tv), n - 2, lower.tail = FALSE)
  ## F-statistic and p-value
  F.fv <- (n - 2) * R2 / R2_complement
  F.pv <- pf(F.fv, 1, n - 2, lower.tail = FALSE)
  ## export
  data.frame(LHS = rep(colnames(dat), times = p),
             RHS = rep(colnames(dat), each = p),
             alpha = c(alpha),
             beta = c(beta),
             beta.se = c(beta.se),
             beta.tv = c(beta.tv),
             beta.pv = c(beta.pv),
             sig = c(sig),
             R2 = c(R2),
             F.fv = c(F.fv),
             F.pv = c(F.pv),
             stringsAsFactors = FALSE)
  }

让我们在问题中的玩具数据集上比较结果。

oo <- poor(dat)
rr <- pairwise_simpleLM(dat)
all.equal(oo, rr)
#[1] TRUE

让我们看看它的输出：

rr[1:3, ]
#  LHS RHS      alpha      beta    beta.se  beta.tv      beta.pv       sig
#1   A   A 0.00000000 1.0000000 0.00000000      Inf 0.000000e+00 0.0000000
#2   B   A 0.05550367 0.6206434 0.04456744 13.92594 5.796437e-25 0.1252402
#3   C   A 0.05809455 1.2215173 0.04790027 25.50126 4.731618e-45 0.1346059
#         R2     F.fv         F.pv
#1 1.0000000      Inf 0.000000e+00
#2 0.6643051 193.9317 5.796437e-25
#3 0.8690390 650.3142 4.731618e-45

当我们的LHS和RHS相同时，回归是没有意义的，因此拦截为0，斜率为1，依此类推。

速度如何？仍使用此玩具示例：

library(microbenchmark)
microbenchmark("poor_man's" = poor(dat), "fast" = pairwise_simpleLM(dat))
#Unit: milliseconds
#       expr        min         lq       mean     median         uq       max
# poor_man's 127.270928 129.060515 137.813875 133.390722 139.029912 216.24995
#       fast   2.732184   3.025217   3.381613   3.134832   3.313079  10.48108

随着我们拥有更多变量，差距将越来越大。例如，我们有10个变量：

set.seed(0)
X <- matrix(runif(100), 100, 10, dimnames = list(1:100, LETTERS[1:10]))
b <- runif(10)
DAT <- X * b[col(X)] + matrix(rnorm(100 * 10, 0, 0.1), 100, 10)
DAT <- as.data.frame(DAT)
microbenchmark("poor_man's" = poor(DAT), "fast" = pairwise_simpleLM(DAT))
#Unit: milliseconds
#       expr        min         lq       mean     median        uq        max
# poor_man's 548.949161 551.746631 573.009665 556.307448 564.28355 801.645501
#       fast   3.365772   3.578448   3.721131   3.621229   3.77749   6.791786

R函数general_paired_simpleLM 

general_paired_simpleLM <- function (dat_LHS, dat_RHS) {
  ## matrix and its dimension (n: numbeta.ser of data; p: numbeta.ser of variables)
  dat_LHS <- as.matrix(dat_LHS)
  dat_RHS <- as.matrix(dat_RHS)
  if (nrow(dat_LHS) != nrow(dat_RHS)) stop("'dat_LHS' and 'dat_RHS' don't have same number of rows!")
  n <- nrow(dat_LHS)
  pl <- ncol(dat_LHS)
  pr <- ncol(dat_RHS)
  ## variable summary: mean, (unscaled) covariance and (unscaled) variance
  ml <- colMeans(dat_LHS)
  mr <- colMeans(dat_RHS)
  vl <- colSums(dat_LHS ^ 2) - ml * ml * n
  vr <- colSums(dat_RHS ^ 2) - mr * mr * n
  ##V <- crossprod(dat - rep(m, each = n))  ## cov(u, v) = E[(u - E[u])(v - E[v])]
  V <- crossprod(dat_LHS, dat_RHS) - tcrossprod(ml * sqrt(n), mr * sqrt(n))  ## cov(u, v) = E[uv] - E{u]E[v]
  ## R-squared (explained variance) and its complement
  R2 <- (V ^ 2) * tcrossprod(1 / vl, 1 / vr)
  R2_complement <- 1 - R2
  ## slope and intercept
  beta <- V * rep(1 / vr, each = pl)
  alpha <- ml - beta * rep(mr, each = pl)
  ## residual sum of squares and standard error
  RSS <- R2_complement * vl
  sig <- sqrt(RSS * (1 / (n - 2)))
  ## statistics for slope
  beta.se <- sig * rep(1 / sqrt(vr), each = pl)
  beta.tv <- beta / beta.se
  beta.pv <- 2 * pt(abs(beta.tv), n - 2, lower.tail = FALSE)
  ## F-statistic and p-value
  F.fv <- (n - 2) * R2 / R2_complement
  F.pv <- pf(F.fv, 1, n - 2, lower.tail = FALSE)
  ## export
  data.frame(LHS = rep(colnames(dat_LHS), times = pr),
             RHS = rep(colnames(dat_RHS), each = pl),
             alpha = c(alpha),
             beta = c(beta),
             beta.se = c(beta.se),
             beta.tv = c(beta.tv),
             beta.pv = c(beta.pv),
             sig = c(sig),
             R2 = c(R2),
             F.fv = c(F.fv),
             F.pv = c(F.pv),
             stringsAsFactors = FALSE)
  }

将此应用于问题的示例1 。

general_paired_simpleLM(dat[1:3], dat[4:5])
#  LHS RHS        alpha       beta    beta.se   beta.tv      beta.pv        sig
#1   A   D -0.009212582  0.3450939 0.01171768  29.45071 1.772671e-50 0.09044509
#2   B   D  0.012474593  0.2389177 0.01420516  16.81908 1.201421e-30 0.10964516
#3   C   D -0.005958236  0.4565443 0.01397619  32.66585 1.749650e-54 0.10787785
#4   A   E  0.008650812 -0.4798639 0.01963404 -24.44040 1.738263e-43 0.10656866
#5   B   E  0.012738403 -0.3437776 0.01949488 -17.63426 3.636655e-32 0.10581331
#6   C   E  0.009068106 -0.6430553 0.02183128 -29.45569 1.746439e-50 0.11849472
#         R2      F.fv         F.pv
#1 0.8984818  867.3441 1.772671e-50
#2 0.7427021  282.8815 1.201421e-30
#3 0.9158840 1067.0579 1.749650e-54
#4 0.8590604  597.3333 1.738263e-43
#5 0.7603718  310.9670 3.636655e-32
#6 0.8985126  867.6375 1.746439e-50

将此应用于问题的示例2 。

general_paired_simpleLM(dat[1:4], dat[5])
#  LHS RHS       alpha       beta    beta.se   beta.tv      beta.pv       sig
#1   A   E 0.008650812 -0.4798639 0.01963404 -24.44040 1.738263e-43 0.1065687
#2   B   E 0.012738403 -0.3437776 0.01949488 -17.63426 3.636655e-32 0.1058133
#3   C   E 0.009068106 -0.6430553 0.02183128 -29.45569 1.746439e-50 0.1184947
#4   D   E 0.066190196 -1.3767586 0.03597657 -38.26820 9.828853e-61 0.1952718
#         R2      F.fv         F.pv
#1 0.8590604  597.3333 1.738263e-43
#2 0.7603718  310.9670 3.636655e-32
#3 0.8985126  867.6375 1.746439e-50
#4 0.9372782 1464.4551 9.828853e-61

将此应用于问题的示例3 。

general_paired_simpleLM(dat[1], dat[2:5])
#  LHS RHS        alpha       beta    beta.se   beta.tv      beta.pv        sig
#1   A   B  0.112229318  1.0703491 0.07686011  13.92594 5.796437e-25 0.16446951
#2   A   C  0.025628210  0.7114422 0.02789832  25.50126 4.731618e-45 0.10272687
#3   A   D -0.009212582  0.3450939 0.01171768  29.45071 1.772671e-50 0.09044509
#4   A   E  0.008650812 -0.4798639 0.01963404 -24.44040 1.738263e-43 0.10656866
#         R2     F.fv         F.pv
#1 0.6643051 193.9317 5.796437e-25
#2 0.8690390 650.3142 4.731618e-45
#3 0.8984818 867.3441 1.772671e-50
#4 0.8590604 597.3333 1.738263e-43

我们甚至可以在两个变量之间进行简单的线性回归：

general_paired_simpleLM(dat[1], dat[2])
#  LHS RHS     alpha     beta    beta.se  beta.tv      beta.pv       sig
#1   A   B 0.1122293 1.070349 0.07686011 13.92594 5.796437e-25 0.1644695
#         R2     F.fv         F.pv
#1 0.6643051 193.9317 5.796437e-25

这意味着simpleLM功能现在已过时。

附录：图片需要Markdown（需要MathJax支持） 

Denote our variables by $x_1$, $x_2$, etc, a pairwise simple linear regression takes the form $$x_i = \alpha_{ij} + \beta_{ij}x_j$$ where $\alpha_{ij}$ and $\beta_{ij}$ is the intercept and the slope of $x_i \sim x_j$, respectively. We also denote $m_i$ and $v_i$ as the sample mean and **unscaled** sample variance of $x_i$. Here, the unscaled variance is just the sum of squares without dividing by sample size, that is $v_i = \sum_{k = 1}^n(x_{ik} - m_i)^2 = (\sum_{k = 1}^nx_{ik}^2) - n m_i^2$. We also denote $V_{ij}$ as the **unscaled** covariance between $x_i$ and $x_j$: $V_{ij} = \sum_{k = 1}^n(x_{ik} - m_i)(x_{jk} - m_j)$ = $(\sum_{k = 1}^nx_{ik}x_{jk}) - nm_im_j$.

Using the results for a simple linear regression given in [Function to calculate R2 (R-squared) in R](https://stackoverflow.com/a/40901487/4891738), we have $$\beta_{ij} = V_{ij} \ / \ v_j,\quad \alpha_{ij} = m_i - \beta_{ij}m_j,\quad r_{ij}^2 = V_{ij}^2 \ / \ (v_iv_j),$$ where $r_{ij}^2$ is the R-squared. Knowing $r_{ij}^2 = RSS_{ij} \ / \ TSS_{ij}$ where $RSS_{ij}$ and $TSS_{ij} = v_i$ are residual sum of squares and total sum of squares of $x_i \sim x_j$, we can derive $RSS_{ij}$ and residual standard error $\sigma_{ij}$ **without actually computing residuals**: $$RSS_{ij} = (1 - r_{ij}^2)v_i,\quad \sigma_{ij} = \sqrt{RSS_{ij} \ / \ (n - 2)}.$$

F-statistic $F_{ij}$ and associated p-value $p_{ij}^F$ can also be obtained from sum of squares: $$F_{ij} = \tfrac{(TSS_{ij} - RSS_{ij}) \ / \ 1}{RSS_{ij} \ / \ (n - 2)} = (n - 2) r_{ij}^2 \ / \ (1 - r_{ij}^2),\quad p_{ij}^F = 1 - \texttt{CDF_F}(F_{ij};\ 1,\ n - 2),$$ where $\texttt{CDF_F}$ denotes the CDF of F-distribution.

The only thing left is the standard error $e_{ij}$, t-statistic $t_{ij}$ and associated p-value $p_{ij}^t$ for $\beta_{ij}$, which are $$e_{ij} = \sigma_{ij} \ / \ \sqrt{v_i},\quad t_{ij} = \beta_{ij} \ / \ e_{ij},\quad p_{ij}^t = 2 * \texttt{CDF_t}(-|t_{ij}|; \ n - 2),$$ where $\texttt{CDF_t}$ denotes the CDF of t-distribution.
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