Delaunay三角剖分-合并时获得第一优势

Question

我正在尝试为发现here的Delaunay Triangulation实施分而治之算法，但是遇到了问题。合并两个集合时，我应该找到它们之间的最底端边缘，该边缘不与图中已经存在的任何边缘相交。

我的第一个问题是，最底层根本没有定义，也不是很明显。我读过很多文字，例如，可以安全地使用两组中y值最低的顶点之间的边缘，但事实并非如此，如该图所示：

我很确定，至少这些要点之一必须是该优势的一部分，但是我还是无法证明这一点。

我不想对照图表检查每一对边，因为对于较大的数据集，这可能会花费太长时间。

所以我正在寻找一种找到该基本边缘的方法。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我很确定，我只是想通了。在获得具有最低y值的顶点之后，我浏览了这两个集合并寻找了两个顶点，它们位于由先前选择的顶点形成的线（或其上）下方，并且与该顶点之间的距离最大。如果两个点之间的距离相等，则在左边的情况下，我选择x值最大的一个，在右边的情况下，我选择最小的x值。

这似乎效果很好。这是因为我注意到，为了发生相交，在该线下需要一个点，该点是与基本边相交的边的一部分。这样，我想我找到了与这两个集合相切的最低边缘，这意味着，如果我旋转该集合，则此线是水平的，则它下方将不存在任何点。

Answer 2

我最终得到了以下算法：

1. 使用Andrew's monotone chain algorithm构建凸包。
2. 获取凸包的边缘，这些边缘不在子三角凸包中。
3. 获得的最低边缘是必需的基础边缘。

关于第三步的注意事项：如果S1的方向（其端点按S2坐标升序排列），则将段S2认为在另一个段x之下。 S1的两个端点都不是逆时针方向的，即如果我们在S1上移动，则S2永远不会在S2的左侧。

时间复杂度注释

1. 因为在D＆C算法的开始，我们先按x依次对点进行排序，然后再按y进行分类，所以建立子三角凸包的方式将是O(n)（不进行排序）需要），其中n是两个子三角图中的点数。
2. 我们可以使用具有O(1)个子三角形边缘查找功能的容器（例如哈希表），并在O(n)中进行过滤。
3. 搜索最低边缘可以在O(n)中完成。

因此整个过程将需要进行O(n)个操作。