Question

我正在尝试解决关于LeetCode.com的问题：

如果正整数可以被A或B整除，那么它是神奇的。
返回第N个幻数。由于答案可能非常大，请以10^9 + 7为模返回。例如，对于N = 5, A = 2, B = 4，输出为10。

highly upvoted solution建议“搜索”答案。但是我不明白如何将其建模为搜索问题-也是二进制搜索问题。有人可以指出背后的直觉吗？

int nthMagicalNumber(int N, int A, int B) {
    long lcm = A * B / __gcd(A, B), l = 2, r = 1e14, mod = 1e9 + 7;
    while (l < r) {
        long m = (l + r) / 2;
        if (m / A + m / B - m / lcm < N) l = m + 1;
        else r = m;
    }
    return l % mod;
}

谢谢！

Answer 1

对于给定的数字m，我们可以找出比m小的幻数：加m/A（被A整除的数字的数量小于m）和m/B（小于B的可被m整除的数的计数）减去m/lcm（可被整除的数的计数） A和B都小于m，以避免重复计算）。这里的lcm是A和B的最小公倍数；被A和B整除的所有数字都是lcm的倍数。

从这里开始，使用二进制搜索很容易。从足够大的间隔开始（根据问题陈述中提供的输入界限，证明初始范围足够大，留给读者练习）。找到中间的m，找出比该中间数小的幻数。如果该数量大于N，则m会超调，我们需要进一步考虑左半部分。否则，m会下冲，我们会搜索右半部分。

此方法可以改进。给定序列X_i=i*A和Y_i=i*B，我们考虑序列Z，它是X和Y的有序并集；我们的任务是找到Z_N。显而易见，Z可以用重复模式描述：到达L=lcm(A, B)之后，相同的模式会重复自身上移L，然后再次上移{{1 }}等。

例如，如果2*L和A=2，则序列B=3如下所示：

很容易看到四个数字的模式，一次又一次地重复，每次移动2 3 4 6 | 8 9 10 12 | 14 15 16 18 | ...

在通常情况下，此模式的长度为6 = L = LCM(2, 3)：来自序列M = L/A + L/B - 1的数字X的数量加上序列<= L的数量Y减去1，因为<= L本身被计算两次。因此，L。

考虑到这一点，找到Z_{i+k*M} = Z_i + k*L就足够了。为此，将二进制搜索应用于Z_N范围就足够了-仅搜索重复模式的第一次出现，因为序列的其余部分可以轻松地从中得出。

Answer 2

这个想法是，给定数字m，可以通过添加m的倍数来计算小于或等于A的幻数的数量（{{ 1}}），其中m / A（B）的倍数减去m / B和A（B）的倍数数了两次。

现在解决方案就是最小的数字m / lcm，其中小于或等于m的幻数正好是m。可以使用二进制搜索找到它。

解决方案背后的直觉

2 个答案: