Question

我对python编码有好奇的问题。我有一个简单的代码，用于执行欧拉逼近，在数值上近似于微分方程的解。通过截取曲线的一部分并将其划分为等宽“ w”的间隔来实现。

代码是：

import math

x = 0
y = 2
w = 0.5

while x < 1:
    dydx = 1 - 2*x + y
    deltaY = dydx*w
    y = y + deltaY
    x += w
print(x,y)

奇怪的是，我发现该代码适用于从1到1/5的'w'，但不是更小的。

例如，使用w = 1/5，代码可以正确输出（1.0，5.48832 ...）

或使用w = 1/4。代码正确输出（1.0，5.4414 ...）

但是如果我使用w = 1/6，则输出为（1.16667,6.27523 ...）

我为运行Euler修改方法和Romberg方法（近似于同一事物）的程序改编了相同的代码，并且它们对w <1/5做相同的事情。

我觉得答案很明显或晦涩难懂。如果有人有解决方案，我将非常感谢。

谢谢

Answer 1

0.2截止只是一个巧合。真正发生的是浮点舍入。

float值不能精确表示大多数分数；它们只是给您最接近您想要的数字的52位二进制分数。导致舍入错误。

如果两次将1/2与0相加，您将得到正1。
如果将1/3乘以0等于3，则会得到一个比1大一点的数字，但是1实际上是最接近该数字的二进制分数。
如果将1/4乘以0等于四，则得到的正是1。
如果五次加1/5到0，则得到的数字比1大一点。
如果将1/6乘以0等于6，则得到的数字比1小一点。
如果将1/7加0等于7，则得到的数字比1小一点。
如果将1/8乘以0等于四，则得到的正是1。

因此，1/3很好，因为无论如何它会四舍五入为1。 1/5很好，因为当x稍大于1时，x < 1为假，并且循环停止。但是1/6和1/7不合适，因为当x比1小一点时，x < 1仍然是正确的，因此您的循环次数太多了。

最简单的解决方法是使用isclose：

while not math.isclose(x, 1):

…尽管如果x不太接近一元分数，那将意味着无限循环。当然，您的方法不适用于此类值，但最好是得到一个错误或不正确的结果，而不要等到Universe结束。因此，您可能想做一些更聪明的事情，例如：

while x < 0.999999:

一个更好的解决方案是以某种速度为代价，对Fraction和w使用x类型而不是float。您仍然可以将y保留为float，因此，当您只是寻找一个近似值时，您的计算将不会消耗所有的内存和时间，而用可笑的分母来构建分数：

import fractions

x = 0
y = 2.0
w = fractions.Fraction(1, 6)

while x < 1:
    dydx = 1 - 2*x + y
    deltaY = dydx*w
    y = y + deltaY
    x += w
print(x,y)

现在您将获得：

1 5.521626371742112

但是最好的选择可能只是跟踪w是1/6的事实，就像这样：

import math

x = 0
y = 2
w_inv = 6
w = 1/w_inv

for _ in range(w_inv):
    dydx = 1 - 2*x + y
    deltaY = dydx*w
    y = y + deltaY
    x += w
print(x,y)

现在，舍入错误不再是问题；无论如何，我们肯定会循环6次。

0.9999999999999999 5.521626371742112

对于宽度小于0.2的宽度，Python是否不运行Euler方法？

1 个答案: