给出n个在圆形轨道上奔跑的跑步者。每个跑步者穿过另一个跑步者时，都会交换宝石。给定每个跑步者完成循环轨迹所花费的时间（以分钟为单位）的数组和整数k。我们需要找到在经过k分钟之前进行的交换次数。
[编辑1]：我考虑过使用所有数字的hcf作为交汇点，但是无法通过。任何帮助都很好。
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我对这类问题的回答通常是先自己尝试一下，但这是一个非常困难的问题，所以我将为您提供解决方案。
我们在这里要做的是计算一个跑步者超越另一个跑步者的次数。首先，我们可以根据跑步者的速度对他们进行排序，这将在以后派上用场。对于第i名跑步者，我们可以轻松地计算出他们将跑的圈数，我将其称为L(i)。对于i比j快的两个跑步者i和j，i通过j的次数是{{1} }。我们的解决方案是所有floor(L(i) - L(j))和i对，其中j的所有值的总和。
如果i > j的限制足够小，则可以遍历所有这些对，并在n时间内求和。但是，如果O(n^2)大，则速度太慢。如果我们只想计算所有n的{{1}}的总和而没有下限函数，则可以使用前缀总和在线性时间内完成。
如果我们的跑步者按照速度顺序从0到L(i) - L(j)进行编号，则对于i > j的每个值，对于n - 1的所有值，i的总和小于L(i) - L(j)等于j，其中i是L(i) * i - P(i - 1))之和的预先计算的值。现在我们需要处理下限功能。对于两个实数P(j)和L(0) + L(1) + L(2) + ... + L(j)，其中x，如果y的小数部分大于或等于x > y，则floor(x - y)等于floor(x) - floor(y)到x的小数部分，否则到y。
因此，如果我们需要计算一个跑步者floor(x) - floor(y) - 1通过另一个跑步者的次数，我们可以先使用上述前缀和技术对每个i的底值进行计算，然后再计算减去L的小数部分大于j的小数部分的L(j)值的数量。在实数上找到L(i)的小数部分大于j的小数部分的L(j)的数量基本上是对实数的inversion counting，这可以通过二进制索引来完成树。
最终的复杂度为L(i)。