Question

因此，我只是在手动计算R中e的值，然后发现有些东西令我感到不安。

使用R的e命令获取exp()的值...

exp(1)
#[1] 2.718282

现在，我将尝试使用x = 10000

进行手动计算

x <- 10000
y <- (1 + (1 / x)) ^ x
y
#[1] 2.718146

不太清楚，但我们将尝试使用x = 100000

x <- 100000
y <- (1 + (1 / x)) ^ x
y
#[1] 2.718268

温暖，但还是有点...

x <- 1000000
y <- (1 + (1 / x)) ^ x
y
#[1] 2.71828

现在，让我们尝试一个巨大的

x <- 5000000000000000
y <- (1 + (1 / x)) ^ x
y
#[1] 3.035035

嗯，那是不对的。这里发生了什么？我是否溢出数据类型，而需要使用某个包？如果是这样，当您溢出数据类型时是否没有警告？

Answer 1

您的机器精度存在问题。 (1 / x) < 2.22e-16刚好为1 + (1 / x)。1在有限精度数值计算中，数学极限被打破。问题中的最后一个x已经是5e+15，非常接近这个边缘。尝试x <- x * 10，您的y将是1。

这既不是“上溢”也不是“下溢”，因为表示1e-308之类的数字并不困难。这是浮点算术期间丢失有效数字的问题。当您执行1 + (1 / x)时，x越大，将(1 / x)部分添加到1时可以保留的有效数字越少，最终(1 / x)就丢失了一词。

               ## valid 16 significant digits
1 + 1.23e-01 = 1.123000000000000|
1 + 1.23e-02 = 1.012300000000000|
   ...            ...
1 + 1.23e-15 = 1.000000000000001|
1 + 1.23e-16 = 1.000000000000000|

任何数值分析书都会告诉您以下内容。

避免添加大量和少量。在浮点加法a + b = a * (1 + b / a)中，如果b / a < 2.22e-16，则有a + b = a。这意味着当将多个正数相加时，将它们从最小到最大累加会更稳定。
避免从另一个相同大小的数字中减去一个数字，否则您可能会得到cancellation error。该网页上有一个使用二次公式的经典示例。

还建议您阅读Approximation to constant "pi" does not get any better after 50 iterations，这是在您提问几天后问到的一个问题。使用series逼近无理数在数值上是稳定的，因为您不会在问题中看到荒谬的行为。但是有限数量的有效有效数字会带来一个不同的问题：数值收敛，即，您只能将目标值近似化为一定数量的有效数字。 MichaelChirico's answer使用泰勒级数将在19个项后收敛，因为1 / factorial(19)在加到1时已经在数字上为0。

浮点数之间的乘法/除法不会导致有效数字出现问题；它们可能会导致“上溢”或“下溢”。但是，鉴于可表示的浮点值范围很广（1e-308〜1e + 307），“上溢”和“下溢”应该很少。真正的困难在于加/减，其中很容易丢失有效数字。有关矩阵计算的示例，请参见Can I stably invert a Vandermonde matrix with many small values in R?。达到更高的精度并非不可能，但工作可能会涉及更多。例如，矩阵示例的OP最终使用GMP (GNU Multiple Precision Arithmetic Library)和相关的R包继续进行：How to put Rmpfr values into a function in R?

Answer 2

您还可以尝试泰勒级数逼近exp(1)，

e^x = \sum_{k = 0}{\infty} x^k / k!

因此，我们可以通过截断该和来逼近e = e^1；在R中：

sprintf('%.20f', exp(1))
# [1] "2.71828182845904509080"
sprintf('%.20f', sum(1/factorial(0:10)))
# [1] "2.71828180114638451315"
sprintf('%.20f', sum(1/factorial(0:100)))
# [1] "2.71828182845904509080"

R：使用`（1 + 1 / n）来近似`e = exp（1）`^ n`会在`n`大时产生荒谬的结果

2 个答案: