从切线矢量和两个点恒定的半径转弯

Question

我一直在研究一个小的火车模拟程序，只是为了好玩，到目前为止，它使用了一个非常烦人的复杂系统（贝塞尔曲线）来创建轨道。我想要一个简单的表格。我在想的是类似《 Planet Coaster》游戏中的路径构建。据我所知，游戏仅使用路径的起始点，即该起始点的方向（在我的情况下为3D空间中的切向量）。

过去的两天我一直在研究这个问题，经过一段时间的磨合后，我一直在思考。我试图用铅笔和纸将其绘制出来，以找到解决问题的方法，但是我有点不知所措了，我想换个角度。如果有人对绘制上述曲线有任何建议或方法，将不胜感激。

更多技术细节/另一种措辞，给定点A和在点a处的切向量，求出一条以恒定半径到达点B的曲线。

指向类似于我所想到的图形的链接：

source

很抱歉，如果我的格式很奇怪，我是刚接触交易所的新手！谢谢您的帮助！ （我不知道该在哪里发布，数学还是溢出，但是我发现应用程序更适合溢出）

Answer 1

恒定半径曲线是圆弧。

给出：点A，B，切向量T（在您的图片上为Ua）

半径矢量P（在图片中为a-o）垂直于切线（圆形属性）。
与弧弦（c-Md）垂直的中心穿过圆心。
因此我们可以找到圆心作为（a-o）和（c-Md）线的交点。
但是在（a-o）处找到与C处的弦垂直的点Md比较简单-它是圆心。

设为差向量D = B - A
设为中间点M = (B + A) / 2
使向量垂直于切向量P = (T.Y, -T.X)
圆心为C = A + t * P，其中t参数未知
向量CM和D应该是垂直的，因此它们的点积为零：

(M - C).dot.D = 0

对t求解此方程，得到点C和圆弧半径