我正在尝试使用有充分根据的定位点来定义递归谓词，当用F_ext进行重写时，必须显示Fix_eq。 CPDT说，大多数这样的义务都可以通过简单明了的自动化证明而免除，但不幸的是，对于我的谓词而言，这似乎并非如此。
我已将问题简化为以下引理（来自Lemma ext_fa:
forall (A : Type) (f g : A -> Prop),
(forall x, f x = g x) ->
(forall x, f x) = (forall x, g x).
）。没有additional axioms的Coq是否可以证明？
f = g可以用谓词或函数的可扩展性来显示它，但是由于结论比通常的结论（f弱，我天真地认为可以在不使用附加公理的情况下产生证明。毕竟，平等的两面都只涉及g和{{1}}的应用。怎么能分辨出内涵上的差异？
我错过了一个简单的证明还是引理不可证明？
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您可能对this code I wrote a while ago感兴趣，其中包括Fix_eq的各种参数变体，并且不依赖于函数扩展性。请注意，您无需更改Fix_F，而只需证明Fix_eq的变体即可。
要回答您提出的问题，而不是解决您的上下文，您所说的引理称为“整体可扩展性”。
它存在于Coq.Logic.FunctionalExtensionality中，其中使用了函数扩展性公理来证明这一点。标准库版本使用公理来证明该引理的事实至少是有力的证据，证明没有Coq中的公理就无法证明它。
这是该事实的证明草图。由于Coq严格归一化*，因此x = y在空上下文中的每个证明在判断上都等于eq_refl。也就是说，如果您可以在空上下文中证明x = y，那么x和y是可转换的。让f x := inhabited (Vector.t (x + 1))和g x := inhabited (Vector.t (1 + x))。通过对forall x, f x = g x进行归纳来证明x很简单。因此，如果您的引理是正确的而没有公理，我们可以得到的证明
(forall x, inhabited (Vector.t (x + 1))) = (forall x, inhabited (Vector.t (1 + x)))
在空上下文中，因此eq_refl应该证明这一说法。我们可以轻松地检查并发现eq_refl不能证明这一说法。因此，没有公理就无法证明您的引理ext_fa。
请注意，在Coq中，函数的相等性和类型的相等性严重不足。本质上，您可以在Coq中证明相等的唯一类型（或函数）是判断上相等的类型（或更准确地说，可以表示为两个证明相等的lambda表示为适用于可证明相等的闭项的类型）。您可以证明不相等的唯一类型是证明不是同构的类型。您可以证明不相等的唯一功能是，在您提供的域的某些具体元素上可证明不同的功能。可以证明的平等与可以证明的不平等之间有很大的距离，而且在没有公理的情况下，您也无话可说。
* Coq实际上并没有严格归一化，因为共归有一些问题。但是，以模为单位，它是高度规范化的。