函数的big-O可以大于函数本身吗？

Question

假定两个（正）非递减函数f和g使得f（n）= O（g（n））。 是2 ^ f（n）= O（2 ^ g（n））吗？

解决方案中有2种情况：

1. 假设f（n）= g（n）= n，在这种情况下它们是相等的，我完全可以理解。
2. 对于第二种情况，作者假设令f（n）= 10n且g（n）= n，此假设是否正确？函数的big-O如何比函数本身大？

我在这里错过了重点吗？

谢谢。

Answer 1

首先根据定义观察10n=O(n)。如果您不清楚，请重新阅读big-O表示法的定义。

但是，2^(10n)不是O(2^n)，因为这暗示着

2^(10n) <= C2^n

对于某个常数C和n的所有值都高于某个阈值N。

要了解为什么这不是事实，请选择一些常量D，例如C <= 2^D（例如D = lgC）。我们得到

2^(10n) <= C2^n <= (2^D)(2^n) = 2^(D+n)

这意味着

10n <= D + n

或

9n <= D

所有高于阈值n的{​​{1}}的值。但这是不可能的，因为N是常数，而D是不受限制的。

最后，我们有一个断言9n的反例，因此它通常不成立。