Question

我可以定义以下归纳类型：

Inductive T : Type -> Type :=
| c1 : forall (A : Type), A -> T A
| c2 : T unit.

但是命令Check (c1 (T nat))失败，并显示以下消息：术语T nat的类型为Type@{max(Set, Top.3+1)}，而预期的类型为Type@{Top.3}（宇宙不一致）。

如何调整上面的归纳定义，以使c1 (T nat)不会导致Universe不一致，并且不设置Universe多态性？

以下方法可行，但我希望在不添加相等性的情况下获得解决方案：

Inductive T (A : Type) : Type :=
| c1 : A -> T A
| c2' : A = unit -> T A.

Definition c2 : T unit := c2' unit eq_refl.

Check (c1 (T nat)).
(*
c1 (T nat)
     : T nat -> T (T nat)
*)

Answer 1

首先让我回答一个问题，即为什么我们首先会导致宇宙不一致。

宇宙不一致是Coq为避免通过罗素悖论证明False而提出的错误，其原因是考虑了所有不包含自身的集合。

有一个变体在类型理论中更方便形式化，称为Hurken悖论。有关更多详细信息，请参见Coq.Logic.Hurkens。 Hurken悖论有一个特殊之处，那就是证明没有任何类型可以缩回较小的类型。也就是说，给定

U := Type@{u}
A : U
down : U -> A
up : A -> U
up_down : forall (X:U), up (down X) = X

我们可以证明False。

这几乎就是您的Inductive类型的设置。用Universe注释类型，您可以从

开始

Inductive T : Type@{i} -> Type@{j} :=
| c1 : forall (A : Type@{i}), A -> T A
| c2 : T unit.

请注意，我们可以反转此归纳法；我们可以写

Definition c1' (A : Type@{i}) (v : T A) : A
  := match v with
     | c1 A x => x
     | c2 => tt
     end.

Lemma c1'_c1 (A : Type@{i}) : forall v, c1' A (c1 A v) = v.
Proof. reflexivity. Qed.

暂时假设c1 (T nat)进行了类型检查。自T nat : Type@{j}起，这将需要j <= i。如果它给了我们j < i，那么我们就定了。我们可以写c1 Type@{j}。这正是我上面提到的Hurken变种的设置！我们可以定义

u = j
U := Type@{j}
A := T Type@{j}
down : U -> A := c1 Type@{j}
up : A -> U := c1' Type@{j}
up_down := c1'_c1 Type@{j}

，因此证明False。

Coq需要实施避免这种矛盾的规则。如here所述，规则是对于归纳的构造函数的每个（非参数）自变量，如果自变量的类型在Universe u中具有排序，则归纳的Universe限制为>= u。在这种情况下，这比Coq需要严格。如SkySkimmer here所述，Coq可以识别直接出现在归纳索引处的参数，并以无视参数的相同方式来忽略它们。

所以，为了最终回答您的问题，我相信以下是您唯一的选择：

您可以Set Universe Polymorphism，以便在T (T nat)中，两个T采用不同的Universe参数。（等效地，您可以编写Polymorphic Inductive。）
您可以利用Coq特别对待归纳类型参数的优势，在您的情况下必须使用相等性。（使用相等性的要求是从索引归纳类型变为参数化归纳类型的一般属性-从将:之后的参数移动到它之前的参数。）
您可以将标志-type-in-type传递给Coq，以完全禁用Universe检查。
您可以fix bug #7929（作为研究此问题的一部分进行报告），使Coq处理以归纳形式出现在索引位置的构造函数参数，就像处理归纳类型的参数一样。< / li>
（您可以找到系统的另一种极端情况，并设法诱使Coq忽略要滑过的宇宙，并可能在此过程中找到False的证明。（可能涉及模块子类型化，例如，参见this recent bug in modules with universes。））

宇宙不一致的简单案例

1 个答案: