Question

假设我为x选择一个介于0和2147483647之间的值。（Int32.MaxValue）我试图弄清楚如何找到a,b,n的值，以便(a^b)%n=x 我已经知道我可以使用ModPow来验证值，但是我不知道如何找到合适的a，b和n。

#include <iostream>

/// Calculate (a^b)%n
/// \param a The base
/// \param b The exponent
/// \param n The modulo
/// \return (a^b)%n
int ModPow(int a, int b, int n) {
    long long x = 1, y = a;
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1) {
            x = (x * y) % n; // multiplying with base
        }
        y = (y * y) % n; // squaring the base
        b /= 2;
    }
    return x % n;
}

int main() {

    int x = 1337;

    // How to find a,b,n so that (a^b)%n=x
    int a = ?;
    int b = ?;
    int n = ?;

    if(x == ModPow(a,b,n))
        printf("ok");

    return 0;
}

Answer 1

int n = 2147483647
int a = ModPow(x, 9241, n);
int b = 464773;

n = 2 ³¹ − 1是质数。因此，由于Fermat's little theorem， x ⁿ mod n = x 和 x ^{n − 1} mod n = 1（除非 x = 0）所以 x ^{2 n − 1} mod n = x 。 2 n − 1 = 9241×464773。因此（（ x ⁹²⁴¹ mod n ）⁴⁶⁴⁷⁷³ mod n = x 。请注意，您需要 x < n 才能起作用。如果 n 也是31位（即带符号）整数，则 x = 2147483647也将不起作用。

我花了一段时间才来到这里；很长一段时间以来，我在得到这个简单的解决方案之前就已经将这个答案弄混了Carmichael numbers和Carmichael function。有关详细信息，请参见edit history。

Answer 2

modulus operator：

产生以下表达式给出的余数，其中 e1 是第一个操作数，而 e2 是第二个操作数： e1 –（e1 / e2）* e2

因此，无论x的最大值是多少，n都必须更大。由于您要使用n作为int进行验证，并且要指定范围：0和numeric_limits<int>::max()，必须必须是唯一范围，并使n成为int的唯一可能值是：numeric_limits<int>::max()。

使用n强制我们的方程有效地变为： a ^b = x 。
_{在这里，我们需要检查x不是1，如果它是 b = 0 并且a可以是我们法律范围内的任何东西，因此我们可以任意选择 a = 2 。但是要禁止这个：}

我们的要求是：

1 <a <x ，而a是int
1 <b <x ，而b是int

给定x，我们可以搜索a和b的组合，如下所示：

auto a = 0.0;
auto b = 1;

if(x == 1) {
    a = 2.0;
    b = 0;
} else {
    while((a = pow(x, 1.0 / ++b)) > 2.0) {
        double dummy;

        if(modf(a, &dummy) == 0.0) {
            break;
        }
    }
}

在这一点上，如果 a> = 2.0 ，那么可以找到有效的解决方案。如您所知，pow是一个非常昂贵的函数，因此对于较大值的x可能需要很长时间才能执行，我个人建议您找到一个{{ 1}}和a，针对存在该对的每个数字，并将它们存储在b中，并对其进行查询。
无论如何，这是工作代码的演示：

Live Example

找出a，b，n，以便（a ^ b）％n = x

2 个答案: