Question

我在C ++程序中使用Eigen来求解非常小的方阵（4X4）的线性方程。

我的测试代码就像

template<template <typename MatrixType> typename EigenSolver>
Vertor3d solve(){
   //Solve Ax = b and A is a real symmetric matrix and positive semidefinite

   ... // Construct 4X4 square matrix A and 4X1 vector b

   EigenSolver<Matrix4d> solver(A);
   auto x = solver.solve(b);

   ... // Compute relative error for validating
}

我测试了一些EigenSolver，包括：

FullPixLU
PartialPivLU
HouseholderQR
ColPivHouseholderQR
ColPivHouseholderQR
CompleteOrthogonalDecomposition
活体肝移植
直接反向

直接反转是：

template<typename MatrixType>
struct InverseSolve
{
private:
    MatrixType  inv;
public:
    InverseSolve(const MatrixType &matrix) :inv(matrix.inverse()) {
    }
    template<typename VectorType>
    auto solve(const VectorType & b) {
        return inv * b;
    }
};

我发现快速方法是 DirectInverse ，即使我将Eigen与MKL联系起来，结果也没有改变。

这是测试结果

FullPixLU：477 ms
PartialPivLU：468 ms
HouseholderQR：849 ms
ColPivHouseholderQR：766 ms
ColPivHouseholderQR：857 ms
CompleteOrthogonalDecomposition：832 ms
LDLT：477 ms
直接反转：88毫秒

全部使用1000000矩阵，随机双倍均匀分布[0,100]。我先构造上三角，然后复制到下三角。

DirectInverse 的唯一问题是它的相对误差比其他解算器略大但可接受。

我的程序有更快或更优雅的解决方案吗？DirectInverse是我程序的快速解决方案吗？

DirectInverse不使用对称信息，为什么DirectInverse比LDLT快得多？

Answer 1

尽管许多人建议在你只想解决一个线性系统时从不明确地计算逆，但对于非常小的矩阵，这实际上是有益的，因为存在使用辅因子的封闭形式的解决方案。

您测试的所有其他替代方案都会变慢，因为它们会进行旋转（这意味着分支），即使对于小型固定大小的矩阵也是如此。此外，它们中的大多数将导致更多的划分，并且不像直接计算那样可以矢量化。

为了提高准确度（如果需要，这种技术实际上可以独立于求解器使用），您可以通过使用残差再次求解系统来优化初始解决方案：

Eigen::Vector4d solveDirect(const Eigen::Matrix4d& A, const Eigen::Vector4d& b)
{
    Eigen::Matrix4d inv = A.inverse();
    Eigen::Vector4d x = inv * b;
    x += inv*(b-A*x);
    return x;
}

我不认为Eigen直接提供了一种方法来利用A的对称性（对于直接计算的逆）。您可以尝试通过将A的selfadjoint视图显式复制到临时文件中来暗示，并希望编译器足够聪明以找到公共子表达式：

Eigen::Matrix4d tmp = A.selfadjointView<Eigen::Upper>();
Eigen::Matrix4d inv = tmp.inverse();

为了减少某些分歧，您还可以使用-freciprocal-math（在gcc或clang上）进行编译，这会稍微降低准确性。

如果这对性能至关重要，请尝试实施手动调整的inverse_4x4_symmetric方法。利用inv * b的对称性对于这样小的矩阵来说不太可能有益。

非常小方阵的特征线性解算器

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