Question

在有关数字图像处理的文献中，您可以找到相对较低阶的拉普拉斯核的示例，通常为3或5.我想知道，有没有通用的方法来构建拉普拉斯内核或任意顺序？链接或/和参考将不胜感激。

Answer 1

Laplace operator被定义为沿着图像的每个轴的二阶导数的总和。（也就是说，它是Hessian矩阵的痕迹）：

∇ I =（∂² /∂ x ² +∂² /∂ y ²） I

有两种常用方法可以将其去除：

使用有限差异。导数运算符是[1,-1]或[0.5,0,-0.5]的卷积，二阶导数运算符两次应用[1,-1]卷积，导致与[1,-2,1]进行卷积。
与正则化内核的导数一起讨论。最优正则化核是高斯核，导致拉普拉斯高斯算子。结果是高斯内核平滑的图像的精确拉普拉斯。

另一种方法是用插值内核替换正则化内核。我的一位前同事发表了一篇关于这种方法的论文：

一个。 Hast，“通过双重过滤方法对一阶和二阶导数进行简单滤波设计”，Pattern Recognition Letters 42(1):65-71, 2014。

他使用了“双重滤波器”，但线性滤波器总是可以简化为单个卷积。

这个想法很简单，就是采用插值内核，并在整数位置计算其导数。内插内核在原点始终为1，在其他整数位置为0，但它通过这些“结点”波动，这意味着它的导数在这些整数位置不为零。

在极端情况下，采用理想插值器sinc function：

sinc（ x ）= sin（π x ）/π x

其second derivative is：

d ² / d x ²（sinc（π x ））= [（2 - π ² x ²）sin（π x ） - 2π x cos（π x ）] /（π x ³）

在11个整数位置采样的结果为：

[ 0.08 -0.125 0.222 -0.5 2 -3 2 -0.5 0.222 -0.125 0.08 ]

但请注意，这里的规范化是不正确的，因为我们正在切断无限长的内核。因此，最好选择较短的内核，例如cubic spline kernel。

第二种选择是通过傅里叶域计算拉普拉斯算子。这只需要与-π u ²-π v ²乘以 u 和 v 频率。

这是一些MATLAB代码，它将此滤波器应用于单位脉冲图像，从而产生大小为256x256的内核图像：

[u,v] = meshgrid((-128:127)/256,(-128:127)/256);
Dxx = -4*(pi*u).^2;
Dyy = -4*(pi*v).^2;
L = Dxx + Dyy;
l = fftshift(ifft2(ifftshift(L)));
l = real(l);        % discard insignificant imaginary component (probably not necessary in MATLAB, but Octave leaves these values there)
l(abs(l)<1e-6) = 0; % set near-zero values to zero

l这里与理想插值器的结果相同，将垂直和水平的插值加在一起，并将长度标准化为256.

最后，我想提一下拉普拉斯算子非常对噪声敏感（高频率显着增强）。这里讨论的方法仅对没有鼻子的数据有意义（可能是合成数据？）。对于任何真实世界的数据，我高度建议您使用高斯拉普拉斯。这将为您提供平滑图像的精确拉普拉斯。平滑是必要的，以防止噪音的影响。噪声很小，可以使用小高斯西格玛（例如σ= 0.8）。这将为您提供比任何其他方法更有用的结果。

图像处理中高阶拉普拉斯核

1 个答案: