Question

今年Bubble Cup（已完成）出现问题NEO（我无法解决），问

给定具有n个整数元素的数组。我们将它分成几个部分（可能是1），每个部分是连续的元素。在这种情况下的NEO值通过以下公式计算：每个部分的值的总和。零件的值是该零件中所有元素的长度乘以其长度。

示例：我们有数组：[2 3 -2 1]。如果我们把它除以：[2 3] [-2 1]。然后NEO =（2 + 3）* 2 +（ - 2 + 1）* 2 = 10 - 2 = 8.

数组中的元素数量小于10^5，数字是-10^6和10^6之间的整数

我已经尝试过像分而治之的东西，如果它增加最大NEO数，则不断地将数组分成两部分，否则返回整个数组的NEO。但不幸的是，该算法具有最差的O（N ^ 2）复杂度（我的实现如下），所以我想知道是否有更好的解决方案

编辑：我的算法（贪婪）不起作用，例如[1,2,-6,2,1]我的算法返回整个数组，而获得最大NEO值是取部分[1,2],[-6],[2,1]给出NEO价值(1+2)*2+(-6)+(1+2)*2=6

#include <iostream>
int maxInterval(long long int suma[],int first,int N)
{
    long long int max = -1000000000000000000LL; 
    long long int curr;
    if(first==N) return 0;
    int k;
    for(int i=first;i<N;i++)
    {
        if(first>0) curr = (suma[i]-suma[first-1])*(i-first+1)+(suma[N-1]-suma[i])*(N-1-i); // Split the array into elements from [first..i] and [i+1..N-1] store the corresponding NEO value
        else curr = suma[i]*(i-first+1)+(suma[N-1]-suma[i])*(N-1-i); // Same excpet that here first = 0 so suma[first-1] doesn't exist
        if(curr > max) max = curr,k=i; // find the maximal NEO value for splitting into two parts
    }
    if(k==N-1) return max; // If the max when we take the whole array then return the NEO value of the whole array
    else
    {
        return maxInterval(suma,first,k+1)+maxInterval(suma,k+1,N); // Split the 2 parts further if needed and return it's sum
    }
}
int main() {
    int T;
    std::cin >> T;
    for(int j=0;j<T;j++) // Iterate over all the test cases
    {
        int N;
        long long int NEO[100010]; // Values, could be long int but just to be safe
        long long int suma[100010]; // sum[i] = sum of NEO values from NEO[0] to NEO[i]
        long long int sum=0;
        int k;
        std::cin >> N;
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            std::cin >> NEO[i];
            sum+=NEO[i];
            suma[i] = sum;
        }
        std::cout << maxInterval(suma,0,N) << std::endl;
    }
    return 0;
}

Answer 1

这不是一个完整的解决方案，但应该提供一些有用的指导。

组合两个每个都有正数的组（或其中一个是非负数）总会产生一个更大的NEO，而不是将它们分开：

m * a + n * b < (m + n) * (a + b) where a, b > 0 (or a > 0, b >= 0); m and n are subarray lengths
将具有负和的组与整组非负数组合，总是产生比仅与非负组的一部分组合的更大的NEO。但排除负数的组可以产生更大的NEO：

[1, 1, 1, 1] [-2] => m * a + 1 * (-b)

现在，想象一下我们逐渐将分界线向左移动，增加总和b与之相结合。虽然右侧的表达式为负，但左侧组的NEO持续下降。但如果右边的表达式得到肯定，依靠我们的第一个断言（见1.），将这两个组合起来总是大于。
按顺序单独组合负数将始终产生较小的NEO，而不是将它们分开：

-a - b - c ... = -1 * (a + b + c ...)

l * (-a - b - c ...) = -l * (a + b + c ...)

-l * (a + b + c ...) < -1 * (a + b + c ...) where l > 1; a, b, c ... > 0

O(n^2)时间，O(n)空间JavaScript代码：

＆＃13;

function f(A){
  A.unshift(0);

  let negatives = [];
  let prefixes = new Array(A.length).fill(0);
  let m = new Array(A.length).fill(0);

  for (let i=1; i<A.length; i++){
    if (A[i] < 0)
      negatives.push(i);

    prefixes[i] = A[i] + prefixes[i - 1];
    m[i] = i * (A[i] + prefixes[i - 1]);

    for (let j=negatives.length-1; j>=0; j--){
      let negative = prefixes[negatives[j]] - prefixes[negatives[j] - 1];
      let prefix = (i - negatives[j]) * (prefixes[i] - prefixes[negatives[j]]);

      m[i] = Math.max(m[i], prefix + negative + m[negatives[j] - 1]);
    }
  }

  return m[m.length - 1];
}

console.log(f([1, 2, -5, 2, 1, 3, -4, 1, 2]));
console.log(f([1, 2, -4, 1]));
console.log(f([2, 3, -2, 1]));
console.log(f([-2, -3, -2, -1]));

＆＃13;

更新

This blog规定我们可以从

dp_i = sum_i*i + max(for j < i) of ((dp_j + sum_j*j) + (-j*sum_i) + (-i*sumj))

到

dp_i = sum_i*i + max(for j < i) of (dp_j + sum_j*j, -j, -sum_j) ⋅ (1, sum_i, i)

这意味着我们可以查看已经看到的向量的每次迭代，该向量将使用我们当前的信息生成最大的点积。数学提到涉及凸包和最远点查询，这些在我现在无法实现，但将进行研究。

将数组划分为较小的连续部分，使NEO值最大

1 个答案:

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