在阵列中相邻1的最小翻转次数

Question

  

给定二进制矩阵（值为0或1），相邻的1表示“丘陵”。另外，给定一些数字k，找到您需要“翻转”为1的最小数量0，以便形成至少大小为k的小山。

编辑：为了澄清，相邻意味着左右上下社区。对角线不计为相邻对象。例如，

[0 1 0 1]

是一个2号山，

[0 1 1 0]

定义了2个大小为1的山丘，

[0 1 1 1]

定义1个大小为3的小山，

[1 1 1 1]

定义了1个4号山丘。

另外，为了澄清，尺寸是由相邻的1b团形成的区域定义的。

我的初始解决方案涉及将每个现有山丘转换为图形的节点，并将成本作为到达每个其他节点的最小路径。然后，执行DFS（或类似算法）以找到最低成本。

如果选择某条路径可以降低另一条边的成本，那么就会失败，而解决这个问题的方法（我能想到的）与蛮力解决方案太接近了。

Answer 1

您的问题与rectilinear Steiner tree problem密切相关。

Steiner tree使用线段将一组点连接在一起，从而使线段的总长度最小。线段可以在任意位置相遇，而不必在集合中的点相遇（因此与minimum spanning tree不同）。例如，给定等边三角形角处的三个点，欧氏Steiner树通过在中间相遇来连接它们：

直线Steiner树是相同的，只是您将总Manhattan distance而不是总欧几里德距离最小化。

在您的问题中，不是将山丘与以欧几里德距离测量长度的线段连接起来，而是通过添加像素来连接山丘。连接数组中的两个单元所需翻转的总数为0，等于两个单元之间的曼哈顿距离，减去1。

直线斯坦纳树问题is known to be NP-complete，即使仅限于具有整数坐标的点。您的问题是一个概括，除了两个不同之处：

• 测量曼哈顿距离时的“负1”部分。我怀疑这种微妙的区别是否足以将问题带入较低复杂度的类别，尽管我没有为您提供证明。
• 整数点的坐标受矩阵大小的限制（正如Albert Hendriks在评论中指出的那样）。这确实很重要-这意味着直线Steiner树问题的pseudo-polynomial time将是您问题的多项式时间。

这意味着您的问题可能不是NP难题，这取决于直线Steiner树问题是weakly NP-complete还是strongly NP-complete。在文献中，我找不到确切的答案，除了学术文献之外，关于该问题的信息很少。据我所知，至少确实没有一种已知的伪多项式时间算法。

鉴于此，您最可能的选择是使用backtracking search来获得确切的解决方案，或者应用试探法以获得“足够好”的解决方案。一种可能的启发式方法as described by Wikipedia是计算rectilinear minimum spanning tree，然后尝试使用iterative improvement method改进RMST。 RMST本身可以在真正最佳值的1.5的恒定因子内提供解决方案。

Answer 2

一座山由1的四个序列组成：

正确的序列由r'位'组成，向上序列具有u位，依此类推。

大小为k的小山为k= 1 + r + l + u + d（1个中心+序列），其中每个值为0 <= v < k。

问题是组合。对于每个单元格，应测试满足前一种关系的{r,l,u,d}的所有可能组合。

在单元格中测试组合时，您必须计算组合中每个值中现有1的数量，它们不会“翻转”。这也将提前跳过其他一些组合。