Question

简单的问题，还没有找到一个简单的答案。我想要一个具有N个顶点，M个边缘，均匀随机的图形。在合理的时间复杂性（我说最差的是拟线性）。这样的算法是否存在，如果是，它是什么？

编辑：澄清：图表是无向的，没有多边或环边。

Answer 1

应该是直截了当的。只需生成N个顶点。然后M边缘。选择随机顶点作为源和目标。由于您没有其他要求（如自动机语言），因此均匀分布。

V <- {1, ..., N}
E <- {}
for 1 to M do
    edge <- (random(V), random(V))
    E.push(edge)
return (V, E)

编辑：澄清：图表是无向的，没有多边或循环。

继续生成随机边，直到有一个有效边：

V <- {1, ..., N}
E <- {}
for 1 to M do
    repeat
        source <- random(V)
        edge <- (source, random(V \ {source}))
    until E does not contain edge
    E.push(edge)
return (V, E)

目的地使用random(V \ source)排除循环。 E does not contain edge不应该关心方向。即应该考虑

(a, b) = (b, a)

为了contains的效率，你应该在实现时使用一些散列结构。

问题是repeat循环。取决于random的工作速度以及M与可能边缘的距离有多近，可能需要一段时间。您可以使用Floyd-Rivest algorithm等技术加快速度（另请参阅Algorithm to select a single, random combination of values?）。

如果M相当小，则与最大数量相比，它应该快速运行（N和M中的线性），因为您没有遇到大量边缘碰撞。

Answer 2

要有效生成随机图，您可以使用Erdős–Rényi model。它是图论中的经典方法。 Java代码（使用graphstream库）生成随机图类似于：

Graph g = new SingleGraph("Erdos-Renyi model");
// adding the first nodes
g.addNode("0");
g.addNode("1");
// creates the first edge
g.addEdge("0_1", "0", "1");
Integer i = 2;
while(i < numNodes) {
    Node source = g.addNode(i.toString());
    Node dest = g.getNode(random.nextInt(i)+"");
    g.addEdge(source.getId() + "_" + dest.getId(), source.getId(), dest.getId());
    i++;
 }

还有其他模型可以生成Barabási–Albert model等图表。该模型生成一个图表，其中节点连接越多，接收新链接的可能性就越大（描述富有的富裕现象）。使用Barabási-Albert模型生成随机图的Java代码是：

Graph g = new SingleGraph("Barabasi–Albert model");    
g.addNode("0");
g.addNode("1");
g.addEdge("0_1", "0", "1");
int sumDegree = 2;
Integer i = 2;
while(i < numNodes) {
    Node source = g.getNode(i.toString());
    if(source == null) {
          source = g.addNode(i.toString());
    }
    Node dest = g.getNode(random.nextInt(i)+"");
    double probability = dest.getDegree() * 1.0/sumDegree;
    double r = nextDouble();
    if(probability > r) {
       g.addEdge(source.getId() + "_" + dest.getId(), source.getId(), dest.getId());
        sumDegree = sumDegree + 2;
         i++;
       }
  }

另一种着名的方法是使用Watts–Strogatz model生成具有小世界属性的随机图。在这种情况下，大多数节点不是彼此的邻居。但是，任何给定节点的邻居很可能是彼此的邻居，并且可以通过少量跳跃从每个其他节点到达大多数节点。

如您所见，生成随机图有几种可能性。根据所需的网络特性，应使用特定的模型。

生成具有n个veritces的图形，m个边缘均匀地随机算法

2 个答案: