Question

我想编写一个使用牛顿法的程序：

估算此积分的x：

其中X是总距离。

我有函数计算通过使用梯形方法进行数值积分到达一定距离所需的时间。不使用trapz。

function T = time_to_destination(x, route, n)
h=(x-0)/n;
dx = 0:h:x;
y = (1./(velocity(dx,route)));

Xk = dx(2:end)-dx(1:end-1); 
Yk = y(2:end)+y(1:end-1);

T = 0.5*sum(Xk.*Yk);
end

并通过一组数据点之间的三次样条插值的ppval获取其速度值。外推值不应该是可取的。

function [v] = velocity(x, route)
load(route);

if all(x >= distance_km(1))==1 & all(x <= distance_km(end))==1
    estimation = spline(distance_km, speed_kmph);
    v = ppval(estimation, x);
else
    error('Bad input, please choose a new value')
end
end

速度样条曲线的绘图，如果您对此感兴趣，请评估：

dx= 1:0.1:65

velocity spline

现在我想编写一个函数，可以解决在给定时间之后行进的距离，使用没有fzero / fsolve的newton方法。但我不知道如何解决积分的上界。

根据微积分的基本定理，我认为积分的导数是积分内的函数，这是我试图重新创建的Time_to_destination /（1 / velocity）我添加了我想要解决的常量到目的地的时间，所以它的

（Time_to_destination - （输入时间））/（1 /速度）

不确定我是否正确行事。

编辑：重新编写我的代码，现在效果更好，但我对Newton Raphson的停止条件似乎没有收敛到零。我也试图从梯形积分（ET）实现错误，但不确定我是否应该打扰实现它。还可以在底部找到路径文件。

牛顿方法的停止条件和误差计算：

梯形误差估计：

Function x = distance(T, route)
n=180
route='test.mat'
dGuess1 = 50;
dDistance = T;
i = 1;
condition = inf;

while  condition >= 1e-4  && 300 >= i
    i = i + 1 ;
    dGuess2 = dGuess1 - (((time_to_destination(dGuess1, route,n))-dDistance)/(1/(velocity(dGuess1, route))))
    if i >= 2
        ET =(time_to_destination(dGuess1, route, n/2) - time_to_destination(dGuess1, route, n))/3;
        condition = abs(dGuess2 - dGuess1)+ abs(ET);
    end
    dGuess1 = dGuess2;
end
x = dGuess2

路线档案：https://drive.google.com/open?id=18GBhlkh5ZND1Ejh0Muyt1aMyK4E2XL3C

Answer 1

观察Newton-Raphson方法确定函数的根。即你需要一个函数 f（x），以便在所需的解决方案中 f（x）= 0 。

在这种情况下，您可以将 f 定义为

f（x）=时间（x） - t

其中 t 是所需时间。然后通过微积分的第二个基本定理

f＆＃39;（x）= 1 / Velocity（x）

通过定义这些功能，实现变得非常简单！

首先，我们定义一个简单的Newton-Raphson函数，该函数将匿名函数作为参数（ f 和 f＆＃39; ）以及初始猜测 X0

function x = newton_method(f, df, x0)
    MAX_ITER = 100;
    EPSILON = 1e-5;

    x = x0;
    fx = f(x);
    iter = 0;
    while abs(fx) > EPSILON && iter <= MAX_ITER
        x = x - fx / df(x);
        fx = f(x);
        iter = iter + 1;
    end
end

然后我们可以调用我们的函数如下

t_given = 0.3;   % e.g. we want to determine distance after 0.3 hours.
n = 180;
route = 'test.mat';
f = @(x) time_to_destination(x, route, n) - t_given; 
df = @(x) 1/velocity(x, route);

distance_guess = 50;
distance = newton_method(f, df, distance_guess);

结果

>> distance
    distance = 25.5877

另外，我重写了您的time_to_destination和velocity函数，如下所示。此版本的time_to_destination使用所有可用数据来更准确地估算积分。使用这些函数，该方法似乎更快收敛。

function t = time_to_destination(x, d, v)
    % x is scalar value of destination distance
    % d and v are arrays containing measured distance and velocity
    % Assumes d is strictly increasing and d(1) <= x <= d(end)
    idx = d < x;
    if ~any(idx)
        t = 0;
        return;
    end
    v1 = interp1(d, v, x);
    t = trapz([d(idx); x], 1./[v(idx); v1]);
end

function v = velocity(x, d, v)
    v = interp1(d, v, x);
end

使用这些新函数需要稍微改变匿名函数的定义。

t_given = 0.3;   % e.g. we want to determine distance after 0.3 hours.
load('test.mat');
f = @(x) time_to_destination(x, distance_km, speed_kmph) - t_given; 
df = @(x) 1/velocity(x, distance_km, speed_kmph);

distance_guess = 50;
distance = newton_method(f, df, distance_guess);

因为积分估计更准确，所以解决方案略有不同

>> distance
    distance = 25.7771

修改

更新的停止条件可以作为newton_method函数的略微修改来实现。我们不应该期望梯形规则误差为零，所以我省略了。

function x = newton_method(f, df, x0) MAX_ITER = 100; TOL = 1e-5; x = x0; iter = 0; dx = inf; while dx > TOL && iter <= MAX_ITER x_prev = x; x = x - f(x) / df(x); dx = abs(x - x_prev); iter = iter + 1; end end

为了检查我们的答案，我们可以绘制时间与距离，并确保我们的估计值落在曲线上。

... distance = newton_method(f, df, distance_guess); load('test.mat'); t = zeros(size(distance_km)); for idx = 1:numel(distance_km) t(idx) = time_to_destination(distance_km(idx), distance_km, speed_kmph); end plot(t, distance_km); hold on; plot([t(1) t(end)], [distance distance], 'r'); plot([t_given t_given], [distance_km(1) distance_km(end)], 'r'); xlabel('time'); ylabel('distance'); axis tight;

Answer 2

我的代码的一个主要问题是n太低，梯形和的误差，我的积分的估计，对于牛顿raphson方法收敛到非常小的数字来说太高了。

以下是此问题的最终代码：

public static function findIdentity($id) {
    return static::findByUsername($id);
}

如何用牛顿法求解积分的上限？

2 个答案: