两个连接图的并集的属性，如果它们的交集未连接

Question

让G1=(V, E1)and G2=(V, E2)在相同的顶点集V上连接图 有两个以上的顶点。如果G1∩G2=(V, E1∩E2)不是连接图，则图G1∪G2=(V, E1∪E2)

a）不能有切割顶点。

b）必须有一个周期

c）必须有一个尖端（桥梁）

d）色数严格大于G1和G2

=============================================== ==========================

  

正确答案是选项（b）

=============================================== ==========================

我的方法是：

问题是我得到了选项a）也纠正了我选择图表的方式。所以，我如何确定在考试中采用什么图表，以便我得到一个正确的答案，你可以在这里看到正确答案是选项b），但我也得到了a）正确。

Answer 1

如果你的目标是通过反例来反驳，那么你就可以用一个带有3个顶点的简单图形开始。

这样的图表满足G1和G2连接的要求，并且没有连接交叉点。但是，工会只反驳了答案c）。特别是联盟

• 没有切割顶点，因此a） 允许
• 确实有一个周期，所以b） 允许
• 没有尖端，因此c） 已消除
• 的色数为3，而G1和G2的色数为2，因此d） 允许

下一步是要意识到d）几乎肯定是错的。原因是：在不改变其色数的情况下，很容易将节点添加到图形中。也就是说，应该很容易找到G1和G2三色的例子，并且联合也是三色的。

这样你就可以得到a）或b） 如果您认为a）是错误的，那么您需要找到一个具有切割顶点的图形，并且具有一个循环 如果您认为b）是错误的，那么您需要找到一个不具有切割顶点的图形，并且不有一个循环。

猜测b）错误是有问题的，因为没有周期的图是tree或path，树和路径都是切割顶点。

因此，下一步是想象一个具有切割顶点的图形。给我的第一张这样的图是沙漏：

再次连接G1和G2，并且未连接交叉点。这一次，工会反驳了三个答案。特别是联盟

• 确实有一个切割顶点，因此a） 已消除
• 确实有一个周期，所以b） 允许
• 没有尖端，因此c） 已消除
• 具有色数3，G1和G2也具有色数3，因此d） 消除

请注意，我们尚未证实b）是正确的，只有a）c）和d）肯定是不正确的，所以b）是消除的答案。

Answer 2

实际证明G1∪G2含有一个循环。

有两种情况需要考虑，首先是琐碎的案例：

如果G1或G2包含一个循环，则G1∪G2必须有一个循环 - G1或G2中存在的循环。

更有趣的情况是G1和G2都是非循环的。

有些（希望）已经建立了关于任何连通非循环无向图G =（V，E）的事实：

• 每对顶点之间只有1条路径（V1∈V，V2∈V），V1≠V2。
• | E | = | V | - 1。

因此，对于非循环和连接的G1和G2，它们都包含| V | - 1条边。 由于G1∩G2未连接，因此它们不能为G1 = G2，G2中必须存在G1中不存在的边缘。

考虑此边Ek =（Vi，Vj）使得（Vi，Vj）∉E1和（Vi，Vj）∈E2

图G1 G1G2包含Vi中的Vi到Vj的路径，因为它包含G1中的所有边。因为G1还没有包含Ek，包括它（来自G2）会创建一个循环，包括G1中从Vi到Vj的路径，以及边缘Ek，因此G1∪G2必须包含一个循环。